(1) 李航《统计学习方法》基于Python实现——最小二乘法正则项

第1章 统计学习方法概论

• 高斯于1823年在误差e1 ,… , en独立同分布的假定下,证明了最小二乘方法的一个最优性质: 在所有无偏的线性估计类中,最小二乘方法是其中方差最小的！
• 无偏估计是用样本统计量来估计总体参数时的一种无偏推断。 估计量的数学期望等于被估计参数的真实值，则称此此估计量为被估计参数的无偏估计，即具有无偏性，是一种用于评价估计量优良性的准则。 无偏估计的意义是：在多次重复下，它们的平均数接近所估计的参数真值。

使用最小二乘法拟和曲线

对于数据$(x_i, y_i)(i=1, 2, 3...,m)$

拟合出函数$h(x)$

有误差，即残差：$r_i=h(x_i)-y_i$

此时L2范数(残差平方和)最小时，h(x) 和 y 相似度最高，更适合拟合

一般的H(x)为n次的多项式，$H(x)=w_0+w_1x+w_2x^2+...w_nx^n$

$w(w_0,w_1,w_2,...,w_n)$为参数

最小二乘法就是要找到一组 $w(w_0,w_1,w_2,...,w_n)$ 使得$\sum_{i=1}^n(h(x_i)-y_i)^2$ (残差平方和) 最小

即，求 $min\sum_{i=1}^n(h(x_i)-y_i)^2$

---

例如书本P11，例1.1中，我们用目标函数$y=sin2{\pi}x$, 加上一个正太分布的噪音干扰，用多项式去拟合

代码：

import numpy as np
import scipy as sp
from scipy.optimize import leastsq
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

ps: numpy.poly1d([1,2,3]) 生成 $1x^2+2x^1+3x^0$

# 目标函数
def real_func(x):
    return np.sin(2*np.pi*x)

# 多项式
def fit_func(p, x):
    f = np.poly1d(p)
    return f(x)

# 残差
def residuals_func(p, x, y):
    ret = fit_func(p, x) - y
    return ret

# 十个点
x = np.linspace(0, 1, 10)
x_points = np.linspace(0, 1, 1000)
# 加上正态分布噪音的目标函数的值
y_ = real_func(x)
y = [np.random.normal(0, 0.1)+y1 for y1 in y_]

def fitting(M=0):
    """
    n 为 多项式的次数
    """    
    # 随机初始化多项式参数
    p_init = np.random.rand(M+1)
    # 最小二乘法
    p_lsq = leastsq(residuals_func, p_init, args=(x, y))
    print('Fitting Parameters:', p_lsq[0])
    
    # 可视化
    plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real')
    plt.plot(x_points, fit_func(p_lsq[0], x_points), label='fitted curve')
    plt.plot(x, y, 'bo', label='noise')
    plt.legend()
    return p_lsq

# M=0
p_lsq_0 = fitting(M=0)

# M=1
p_lsq_1 = fitting(M=1)

# M=9
p_lsq_9 = fitting(M=9)

当M=9时，多项式曲线通过了每个数据点，但是造成了过拟合

---

1.0.2 正则化

结果显示过拟合， 引入正则化项(regularizer)，降低过拟合。
模型选择的典型方法是正则化，正则化是结构风险最小化策略的实现，是在经验风险上加一个正则化向或惩罚项。正则化项一般是模型复杂度的单调递减函数，模型月复杂，正则化值越大。
正则化一般具有如下形式：

$Q(x)=\sum_{i=1}^n(h(x_i)-y_i)^2+\lambda||w||^2$。并使得Q(x)取得最小
$Q(x)
回归问题中，损失函数是平方损失，正则化可以是参数向量的L2范数,也可以是L1范数。

• L1: regularization*abs§

• L2: 0.5 * regularization * np.square§

regularization = 0.0001

def residuals_func_regularization(p, x, y):
    ret = fit_func(p, x) - y
    ret = np.append(ret, np.sqrt(0.5*regularization*np.square(p))) # L2范数作为正则化项
    return ret

# 最小二乘法,加正则化项
p_init = np.random.rand(9+1)
p_lsq_regularization = leastsq(residuals_func_regularization, p_init, args=(x, y))

plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real')
plt.plot(x_points, fit_func(p_lsq_9[0], x_points), label='fitted curve')
plt.plot(x_points, fit_func(p_lsq_regularization[0], x_points), label='regularization')
plt.plot(x, y, 'bo', label='noise')
plt.legend()