原文地址：http://www.cnblogs.com/SYCstudio/p/7194315.html
KMP算法（研究總結，字符串）
前段時間學習KMP算法，感覺有些複雜，不過好歹是弄懂啦，簡單地記錄一下，方便以後自己回憶。
引入
首先我們來看一個例子，現在有兩個字符串A和B，問你在A中是否有B，有幾個？爲了方便敘述，我們先給定兩個字符串的值
A="abcaabababaa"
B="abab"
那麼普通的匹配是怎麼操作的呢？
當然就是一位一位地比啦。（下面用藍色表示已經匹配，黑色表示匹配失敗）
但是我們發現這樣匹配很浪費!
爲什麼這麼說呢，我們看到第4步：
在第4步的時候，我們發現第3位上c與a不匹配，然後第五步的時候我們把B串向後移一位，再從第一個開始匹配。
這裏就有一個對已知信息很大的浪費，因爲根據前面的匹配結果，我們知道B串的前兩位是ab，所以不管怎麼移，都是不能和b匹配的,所以應該直接跳過對A串第二位的匹配，對於A串的第三位也是同理。
或許這這個例子還不夠經典，我們再舉一個。
A="abbaabbbabaa"
B="abbaaba"
在這個例子中，我們依然從第1位開始匹配，直到匹配失敗：
abbaabbbabba
abbaaba
我們發現第7位不匹配
那麼我們若按照原來的方式繼續匹配，則是把B串向後移一位，重新從第一個字符開始匹配
abbaabbbabba
_abbaaba
依然不匹配，那我們就要繼續往後移咯。
且住！
既然我們已經匹配了前面的6位，那麼我們也就知道了A串這6位和B串的前6位是匹配的，我們能否利用這個信息來優化我們的匹配呢？
也就是說，我們能不能在上面匹配失敗後直接跳到：
abbaabbbabba
____abbaaba
這樣就可以省去很多不必要的匹配。
KMP算法
KMP算法就是解決上面的問題的，在講述之前，我們先擺出兩個概念：
前綴：指的是字符串的子串中從原串最前面開始的子串，如abcdef的前綴有：a,ab,abc,abcd,abcde
後綴：指的是字符串的子串中在原串結尾處結尾的子串，如abcdef的後綴有：f,ef,def,cdef,bcdef
KMP算法引入了一個F數組（在很多文章中會稱爲next,但筆者更習慣用F，這更方便表達），F[i]表示的是前i的字符組成的這個子串最長的相同前綴後綴的長度！
怎麼理解呢？
例如字符串aababaaba的相同前綴後綴有a和aaba，那麼其中最長的就是aaba。
KMP算法的難理解之處與本文敘述的約定
在繼續我們的講述之前，筆者首先講一下爲什麼KMP算法不是很好理解。
雖然說網上關於KMP算法的博客、教程很多，但筆者查閱很多資料，詳細講述過程及原理的不多，真正講得好的文章在定義方面又有細微的不同（當然，真正寫得好的文章也有，這裏就不一一列舉），比如說有些從1開始標號，有些next表示的是前一個而有些是當前的，通讀下來，難免會混亂。
那麼，爲了防止讀者在接下來的內容中感到和筆者之前學習時同樣的困惑，在這裏先對下文做一些說明和約定。
1.本文中，所有的字符串從0開始編號
2.本文中，F數組（即其他文章中的next），F[i]表示0~i的字符串的最長相同前綴後綴的長度。
F數組的運用
那麼現在假設我們已經得到了F的所有值，我們如何利用F數組求解呢？
我們還是先給出一個例子（筆者用了好長時間才構造出這一個比較典型的例子啊）：
A="abaabaabbabaaabaabbabaab"
B="abaabbabaab"
當然讀者可以通過手動模擬得出只有一個地方匹配
abaabaabbabaaabaabbabaab
那麼我們根據手動模擬，同樣可以計算出各個F的值
B="a b a a b b a b a a b "
F= 0 0 1 1 2 0 1 2 3 4 5相同前綴後綴：無,無,a,a,ab,無,a,ab,aba,abaa,abaab
（2017.7.25 Update 這裏之前有一個錯誤，感謝@ 歌古道指正）（2017.7.29 Update 好吧，這裏原來還有一個錯誤，已經更正啦感謝@iwangtst）
我們再用i表示當前A串要匹配的位置（即還未匹配），j表示當前B串匹配的位置（同樣也是還未匹配），補充一下，若i>0則說明i-1是已經匹配的啦（j同理）。
首先我們還是從0開始匹配：
此時，我們發現，A的第5位和B的第5位不匹配（注意從０開始編號），此時i=5,j=5，那麼我們看F[j-1]的值：
F[5-1]=2;
這說明我們接下來的匹配只要從B串第２位開始（也就是第３個字符）匹配，因爲前兩位已經是匹配的啦，具體請看圖：
然後再接着匹配：
我們又發現，A串的第13位和B串的第10位不匹配，此時i=13,j=10，那麼我們看F[j-1]的值：
F[10-1]=4
這說明B串的0~3位是與當前(i-4)~(i-1)是匹配的，我們就不需要重新再匹配這部分了，把B串向後移，從Ｂ串的第４位開始匹配：
這時我們發現A串的第13位和B串的第4位依然不匹配
此時i=13,j=4，那麼我們看F[j-1]的值：
F[4-1]=1
這說明B串的第0位是與當前i-1位匹配的，所以我們直接從B串的第1位繼續匹配：
但此時B串的第1位與A串的第13位依然不匹配
此時，i=13,j=1,所以我們看一看F[j-1]的值:
F[1-1]=0
好吧，這說明已經沒有相同的前後綴了，直接把B串向後移一位，直到發現B串的第0位與A串的第i位可以匹配（在這個例子中，i=13）
再重複上面的匹配過程，我們發現，匹配成功了！
這就是KMP算法的過程。
另外強調一點，當我們將B串向後移的過程其實就是i++,而當我們不動B，而是匹配的時候，就是i++,j++，這在後面的代碼中會出現，這裏先做一個說明。
最後來一個完整版的（話說做這些圖做了好久啊！！！！）：
F數組的求解
既然已經用這麼多篇幅具體闡述瞭如何利用F數組求解，那麼如何計算出F數組呢？總不能暴力求解吧。
KMP的另外一個巧妙的地方也就在這裏，它利用我們上面用B匹配A的方法來計算F數組，簡單點來說，就是用B串匹配B串自己！
當然，因爲B串==B串，所以如果直接按上面的匹配，那是毫無意義的（自己當然可以完全匹配自己啦），所以這裏要變一變。
因爲上面已經講過一部分了，先給出計算F的代碼：
for (int i=1;i<m;i++)
{
int j=F[i-1];
while ((B[j+1]!=B[i])&&(j>=0))
j=F[j];
if (B[j+1]==B[i])
F[i]=j+1;
else
F[i]=-1;
}首先可以確定的幾點是：
1.F[0]=-1 (雖說這裏應該是０，但爲了方便判越界，同時爲了方便判斷第０位與第i位，程序中這裏置爲-1)
2.這是一個從前往後的線性推導，所以在計算F[i]時可以保證F[0]~F[i-1]都是已經計算出來的了
3.若以某一位結尾的子串不存在相同的前綴和後綴，這個位的F置爲-1（這裏置爲-1的原因同第一條一樣）
重要！：另外，爲了在程序中表示方便，在接下來的說明中，F[i]=0表示最長相同前綴後綴長度爲１，即真實的最長相同前綴後綴＝F[i]+1。(重要的內容要放大)
爲什麼要這樣設置呢，因爲這時F[i]代表的就不僅僅與前後綴長度有關了，它還代表着這個前綴的最後一個字符在子串B中的位置。
所以，之前上面列出的F值要變一下（這裏用'_'輔助對齊）：
B="a _b a a b _b a b a a b "
F= -1 -1 0 0 1 -1 0 1 2 3 4
那麼，我們同樣可以推出，求解F的思路是：看F[i-1]這個最長相同前綴後綴的後面是否可以接i，若可以，則直接接上，若不可以，下面再說。
舉個例子：
還是以B="abaabbabaab"爲例，我們看到第2個。
B="a b a a b b a b a a b"
F=-1 -1
此時這個a的前一個b的F值爲-1，所以此時a不能接在b的後面（b的相同最長前綴後綴是０啊），此時，j=-1，所以我們判斷B[j+1]與B[2]，即B[0]與B[2]是否一樣。一樣，所以F[2]=j+1=0（代表前0~2字符的最長相同前綴後綴的前綴結束處是B[0],長度爲0+1=1）。
再來看到第３個：
B="a b a a b b a b a a b"
F=-1 -1 0
開始時,j=F[3-1]=0，我們發現B[j+1=1]!=B[i=3]，所以j=F[j]=-1,此時B[j+1=0]==B[i=3]，所以F[3]=j+1=0。
最後舉個例子，看到第４個
B="a b a a b b a b a a b"
F=-1 -1 0 0
j首先爲F[4-1]=0，我們看到B[j+1=1]==B[i]，所以F[i]=j+1=1。
後面的就請讀者自己慢慢推導了。再強調一遍，我們這樣求出來的F值是該最長相同前綴後綴中的前綴的結束字符的數組位置（從０開始編號），如果要求最長相同前綴後綴的長度，要輸出F[i]+1。
代碼
求解F數組：
for (int i=1;i<m;i++)
{
int j=F[i-1];
while ((B[j+1]!=B[i])&&(j>=0))
j=F[j];
if (B[j+1]==B[i])
F[i]=j+1;
else
F[i]=-1;
}利用F數組尋找匹配，這裏我們是每找到一個匹配就輸出其開始的位置：
while (i<n)
{
if (A[i]==B[j])
{
i++;
j++;
if (j==m)
{
printf("%d\n",i-m+1);//注意,這裏輸出的位置是從1開始標號的,如果你要輸出從0開始標號的位置,應該是是i-m.這份代碼是我做一道題時寫的,那道題要求輸出的字符串位置從1開始標號.感謝@Draymonder指出了這個疏漏,更多內容請看評論區
j=F[j-1]+1;
}
}
else
{
if (j==0)
i++;
else
j=F[j-1]+1;
}
}