最容易理解最全的快排的最好時間複雜度分析

 

void QSort(SqList *L,int low,int high)
{
    int pivot;
    if(low<high){
        pivot=Partition(L,low,high);//返回樞軸，操作次數爲n
       QSort(L,low,pivot-1);//對樞軸左邊進行排序
       QSort(L,pivot+1,high);//對數軸右邊進行排序
    }
}

 

最好的情況下，樞軸對兩邊的劃分都很均勻，用遞歸樹來表示如下圖：

方法一：

根據代碼我們知道，每一層的遞歸操作次數爲該次遞歸所傳入的元素個數，忽略每次減去的樞軸（1個元素並沒有給到下一層，但是每層這裏減掉一個常數對複雜度的分析影響不大，所以暫時忽略），即：

第1層是n次，

第2層有2次遞歸，每次n/2次，共n次操作，

第3層有4次遞歸，每次n/4次，共n次操作，

……

（最後一層）第k層有k次遞歸，每次n/2^k次，共n次操作

由於遞歸結束的條件是隻有一個元素，所以這裏的n/2^k=1   =>   k=logn 

即遞歸樹的深度爲logn

時間複雜度=每層的操作次數*樹的深度=nlogn 即：O(nlgn);

 

方法二：

我們用T(n)來表示時間複雜度，有：

解這個遞推公式：

有代入上一個公式有

有代入上一個公式有

...

最後一層遞歸有代入上一個公式有

已知最後一層遞歸時操作次數爲1，，有

帶入公式得

有T(1)=0;

所以  即：O(nlgn);

 

方法三：

主定理求解遞歸式：

    令a>=1和b>1是常數，f(n)是一個函數，T(n)是定義在非負整數上的遞歸式：

,其中n/b爲向上或向下取整。那麼T(n)有如下漸近界：

   1、若對某個常數>0,有,則;

   2、若,則​​​​​​​;

   3、若對某個常數>0,有,且對某個常數c<1和所有足夠大的n有，則;

關於以上幾種情況的解釋可以看算法導論第三版P54，這裏稍微解釋一下：

（用來分析算法複雜度的話可以把和O看成是相同的，想要具體瞭解的自行百度或者我後面可能再加進來）

三種情況的每一種我們將函數f(n)與進行比較，這兩個之中的較大解決定了遞歸式的解，大小相當的情況下則乘上一個對數因子

接下來通過這種方法來計算快排的時間複雜度：

遞推公式：

主定理：

所以a=2,b=2,,對應第二種情況，所以

是不是很簡單……

 

後面再寫平均和最差吧，或者可以看這篇博文

https://www.cnblogs.com/fengty90/p/3768827.html