大整數相乘“分治法”和“循環暴力法”

前言

今天刷到一道很有趣的面試題，感覺很有意思，來分享給大家。

題目描述

有兩個用字符串表示的非常大的大整數,算出他們的乘積，也是用字符串表示。不能用系統自帶的大整數類型。

輸入描述:
空格分隔的兩個字符串，代表輸入的兩個大整數
輸出描述:
輸入的乘積，用字符串表示

示例1

輸入
72106547548473106236 982161082972751393
輸出
70820244829634538040848656466105986748

思路分析

例如x=1234,y=567

• ①將x拆分成兩半兒，a = 12 b = 34
• ②將y拆分成兩半兒，c = 5 d = 67
• ③則xy = (12102+34)(5102+67) = (a102+b)(c102+d) = ac104+ad102+bc102+bd
• ④遞歸求（ac）,(ad),(bc),(bd)的結果，如果a,b，c，d足夠小，就直接相乘算出結果，否則，從第①步開始重複，繼續拆分a，b，c，d，直至到了能直接算結果的時候，遞歸結束，開始回溯

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Main {
    public static void main(String[] args){
        Scanner sca = new Scanner(System.in);
        String x = sca.nextLine();
        String y = sca.nextLine();
        System.out.println(f(x,y));
    }

    //分治法
    public static Long f(String x,String y){
        String a = x.substring(0, x.length()/2);
        String b = x.substring(x.length()/2);
        String c = y.substring(0, y.length()/2);
        String d = y.substring(y.length()/2);
        int n = b.length();
        int m = d.length();
        if(x.length()<=4 && y.length()<=4){
            return (long) (Integer.parseInt(x)*Integer.parseInt(y));
        }
        if(x.length()>4 && y.length()<=4){
            return (long) (f(a,y)*Math.pow(10, n)+f(b,y));
        }
        if(y.length()>4 && x.length()<=4){
            return (long) (f(c,x)*Math.pow(10, m)+f(d,x));
        }else{
            return (long) (f(a,c)*Math.pow(10, n+m)+f(a,d)*Math.pow(10, n)+f(b,c)*Math.pow(10, m)+f(b,d));
        }
    }
}

上述思路，時間複雜度是o(log2max(n,m))，其中n是x的長度，m是y的長度，

但是當最後的乘積超過long型的時候，還是會錯誤，

我一直沒想到好的方法完全解決，百度了一下，試了好幾個人的java代碼，結果都是報錯，有的甚至用long型變量接收輸入的大整數，直接就報錯了，沒有一個是對的，訪問量還那麼高，真水啊，，，，，，

然後想了另一種方法，可以完美解決此問題，時間複雜度是o（n2）：

循環暴力法：

• ①把兩個字符串經過拆分轉換成int型數組

• ②用intx[]裏的每個數字乘以inty[]裏面的每一個數字，就是傳統的在紙上手算的那個過程，將結果存入另一個數組

• ③如果兩數相乘是兩位數，就把十位上的數加到高位上。

循環結束後，兩個大數的乘積就按位數存到數組裏了。

這個方法適用於所有的大數相乘。

java 代碼如下

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Main {
    public static void main(String[] args){
        Scanner sca = new Scanner(System.in);
        String x = sca.nextLine();
        String y = sca.nextLine();
        System.out.println(f(x,y));
    }
    public static String f(String x,String y){
        int[] intx = new int[x.length()];
        int[] inty = new int[y.length()];
        int[] intsum = new int[x.length()+y.length()];

        for (int i = 0; i < x.length(); i++) {
            intx[x.length()-1-i] = Integer.parseInt(x.substring(i, i+1));
        }
        for (int i = 0; i < y.length(); i++) {
            inty[y.length()-1-i] = Integer.parseInt(y.substring(i, i+1));
        }
        for (int i = 0; i < intx.length; i++) {
            for (int j = 0; j < inty.length; j++) {
                intsum[i+j] += intx[i]*inty[j];
            }
            for (int j = 0; j < intsum.length-1; j++) {
                if(intsum[j]>9){
                    intsum[j+1]+=intsum[j]/10;
                    intsum[j] = intsum[j]%10;
                }
            }
        }
        String str = "";
        boolean t = false;
        for (int i = intsum.length-1; i >=0; i--) {
            if(intsum[i]!=0) t = true;
            if(t) str = str+intsum[i];
        }
        return str;
    }
}

希望大家能多多指教！

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