1:概念

k近鄰是一種基本分類與迴歸方法。本文只討論分類問題中的k近鄰法。k近鄰法的輸入爲實例的特徵向量，對應於特徵空間的點；輸出爲實例的類別，可以取多類。k近鄰法假設給定一個訓練數據集，其中的實例類別已定。分類時，對新的實例，根據其k個最近鄰的訓練實例的類別，通過多數表決等方式進行預測。因此k近鄰法不具有顯式的學習過程。k近鄰法實際上利用訓練數據集對特徵向量空間進行劃分，並作爲其分類的“模型”。
k值的選擇，舉例度量和分類決策規則是k近鄰算法的三個基本要素。

2:k近鄰模型

2.1:模型

k近鄰法中，當訓練數據、距離度量（如歐氏距離）、k值及分類決策規則（如多數表決）確定後，對於任何一個新的輸入實例，它所屬類別唯一的確定。這相當於根據上述要素將特徵空間劃分爲一些子空間，確定子空間裏面的每個點所屬的類
特徵空間中，對每個訓練實例點 $x_{i}$ ，距離該點比其他點更近的所有點組成的一個區域，叫做單元（cell），每個訓練實例點擁有一個單元，所有訓練實例點的單元構成對特徵空間的一個劃分。最近鄰法將實例 $x_{i}$ 的類 $y_{i}$ 作爲其單元中所有點的類標記。這樣，每個單元的實例點的類別是確定的。

2.2:距離度量

特徵空間中兩個實例點的距離度量是兩個實力點相似程度的反映。k近鄰模型的特徵空間一般是n維實數向量空間 $\mathbf{R}^{n}$ ，使用的距離度量是歐氏距離，但也可以是其他距離，如更一般的 $L_{p}$ 距離，或者Minkowski距離。
設特徵空間 $\mathcal{X}$ 是 $n$ 維實數向量空間 $\mathbf{R}^{n}$ ， $x_{i}, x_{j} \in \mathcal{X}, \quad x_{i}=\left(x_{i}^{(1)}, x_{i}^{(2)}, \cdots, x_{i}^{(n)}\right)^{\top}$ ， $x_{j}=\left(x_{j}^{(1)}, x_{j}^{(2)}, \cdots, x_{j}^{(n)}\right)^{\mathrm{T}}, \quad x_{i}, x_{j}$ 的 $L_{p}$ 距離定義爲： $L_{p}\left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(\sum_{l=1}^{n}\left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}$ 。

這裏， $p \geqslant 1$ ，當 $p=2$ 時，稱爲歐式距離，即
$L_{2}\left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(\sum_{l=1}^{n}\left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$

當 $p=1$ 時，稱爲曼哈頓距離，即
$L_{1}\left(x_{i}, x_{j}\right)=\sum_{l=1}^{n}\left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}\right|$

當 $p=\infty$ 時，它是各個座標距離的最大值，即
$L_{\infty}\left(x_{i}, x_{j}\right)=\max _{l}\left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}\right|$

3:Python代碼實現

3.1 導入數據集

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split

from collections import Counter

# data
iris = load_iris()
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target
df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
# data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])

plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()

3.2 數據集切分

data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
X, y = data[:,:-1], data[:,-1]
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)

3.3 實現KNN

class KNN:
    def __init__(self, X_train, y_train, n_neighbors=3, p=2):
        """
        parameter: n_neighbors 臨近點個數
        parameter: p 距離度量
        """
        self.n = n_neighbors
        self.p = p
        self.X_train = X_train
        self.y_train = y_train
    
    def predict(self, X):
        # 取出n個點
        knn_list = []
        for i in range(self.n):
            dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p)
            knn_list.append((dist, self.y_train[i]))
            
        for i in range(self.n, len(self.X_train)):
            max_index = knn_list.index(max(knn_list, key=lambda x: x[0]))
            dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p)
            if knn_list[max_index][0] > dist:
                knn_list[max_index] = (dist, self.y_train[i])
                
        # 統計
        knn = [k[-1] for k in knn_list]
        count_pairs = Counter(knn)
        max_count = sorted(count_pairs, key=lambda x:x)[-1]
        return max_count
    
    def score(self, X_test, y_test):
        right_count = 0
        n = 10
        for X, y in zip(X_test, y_test):
            label = self.predict(X)
            if label == y:
                right_count += 1
        return right_count / len(X_test)
        
clf = KNN(X_train, y_train)
clf.score(X_test, y_test)
test_point = [6.0, 3.0]
print('Test Point: {}'.format(clf.predict(test_point)))

plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.plot(test_point[0], test_point[1], 'bo', label='test_point')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()

分類結果：

4:構造kd樹實現

# kd-tree每個結點中主要包含的數據結構如下 
class KdNode(object):
    def __init__(self, dom_elt, split, left, right):
        self.dom_elt = dom_elt  # k維向量節點(k維空間中的一個樣本點)
        self.split = split      # 整數（進行分割維度的序號）
        self.left = left        # 該結點分割超平面左子空間構成的kd-tree
        self.right = right      # 該結點分割超平面右子空間構成的kd-tree
 
 
class KdTree(object):
    def __init__(self, data):
        k = len(data[0])  # 數據維度
        
        def CreateNode(split, data_set): # 按第split維劃分數據集exset創建KdNode
            if not data_set:    # 數據集爲空
                return None
            # key參數的值爲一個函數，此函數只有一個參數且返回一個值用來進行比較
            # operator模塊提供的itemgetter函數用於獲取對象的哪些維的數據，參數爲需要獲取的數據在對象中的序號
            #data_set.sort(key=itemgetter(split)) # 按要進行分割的那一維數據排序
            data_set.sort(key=lambda x: x[split])
            split_pos = len(data_set) // 2      # //爲Python中的整數除法
            median = data_set[split_pos]        # 中位數分割點             
            split_next = (split + 1) % k        # cycle coordinates
            
            # 遞歸的創建kd樹
            return KdNode(median, split, 
                          CreateNode(split_next, data_set[:split_pos]),     # 創建左子樹
                          CreateNode(split_next, data_set[split_pos + 1:])) # 創建右子樹
                                
        self.root = CreateNode(0, data)         # 從第0維分量開始構建kd樹,返回根節點


# KDTree的前序遍歷
def preorder(root):  
    print (root.dom_elt)  
    if root.left:      # 節點不爲空
        preorder(root.left)  
    if root.right:  
        preorder(root.right)  


# 對構建好的kd樹進行搜索，尋找與目標點最近的樣本點：
from math import sqrt
from collections import namedtuple

# 定義一個namedtuple,分別存放最近座標點、最近距離和訪問過的節點數
result = namedtuple("Result_tuple", "nearest_point  nearest_dist  nodes_visited")
  
def find_nearest(tree, point):
    k = len(point) # 數據維度
    def travel(kd_node, target, max_dist):
        if kd_node is None:     
            return result([0] * k, float("inf"), 0) # python中用float("inf")和float("-inf")表示正負無窮
 
        nodes_visited = 1
        
        s = kd_node.split        # 進行分割的維度
        pivot = kd_node.dom_elt  # 進行分割的“軸”
        
        if target[s] <= pivot[s]:           # 如果目標點第s維小於分割軸的對應值(目標離左子樹更近)
            nearer_node  = kd_node.left     # 下一個訪問節點爲左子樹根節點
            further_node = kd_node.right    # 同時記錄下右子樹
        else:                               # 目標離右子樹更近
            nearer_node  = kd_node.right    # 下一個訪問節點爲右子樹根節點
            further_node = kd_node.left
 
        temp1 = travel(nearer_node, target, max_dist)  # 進行遍歷找到包含目標點的區域
        
        nearest = temp1.nearest_point       # 以此葉結點作爲“當前最近點”
        dist = temp1.nearest_dist           # 更新最近距離
        
        nodes_visited += temp1.nodes_visited  
 
        if dist < max_dist:     
            max_dist = dist    # 最近點將在以目標點爲球心，max_dist爲半徑的超球體內
            
        temp_dist = abs(pivot[s] - target[s])    # 第s維上目標點與分割超平面的距離
        if  max_dist < temp_dist:                # 判斷超球體是否與超平面相交
            return result(nearest, dist, nodes_visited) # 不相交則可以直接返回，不用繼續判斷
            
        #----------------------------------------------------------------------  
        # 計算目標點與分割點的歐氏距離  
        temp_dist = sqrt(sum((p1 - p2) ** 2 for p1, p2 in zip(pivot, target)))     
        
        if temp_dist < dist:         # 如果“更近”
            nearest = pivot          # 更新最近點
            dist = temp_dist         # 更新最近距離
            max_dist = dist          # 更新超球體半徑
        
        # 檢查另一個子結點對應的區域是否有更近的點
        temp2 = travel(further_node, target, max_dist) 
        
        nodes_visited += temp2.nodes_visited
        if temp2.nearest_dist < dist:        # 如果另一個子結點內存在更近距離
            nearest = temp2.nearest_point    # 更新最近點
            dist = temp2.nearest_dist        # 更新最近距離
 
        return result(nearest, dist, nodes_visited)
 
    return travel(tree.root, point, float("inf"))  # 從根節點開始遞歸

測試

data = [[2,3],[5,4],[9,6],[4,7],[8,1],[7,2]]
kd = KdTree(data)
preorder(kd.root)

from time import clock
from random import random

# 產生一個k維隨機向量，每維分量值在0~1之間
def random_point(k):
    return [random() for _ in range(k)]
 
# 產生n個k維隨機向量 
def random_points(k, n):
    return [random_point(k) for _ in range(n)]  

ret = find_nearest(kd, [3,4.5])
print (ret)

N = 400000
t0 = clock()
kd2 = KdTree(random_points(3, N))            # 構建包含四十萬個3維空間樣本點的kd樹
ret2 = find_nearest(kd2, [0.1,0.5,0.8])      # 四十萬個樣本點中尋找離目標最近的點
t1 = clock()
print ("time: ",t1-t0, "s")
print (ret2)

運行結果：

(3) 李航《統計學習方法》基於Python實現——K近鄰法

1:概念

2:k近鄰模型

2.1:模型

2.2:距離度量

3:Python代碼實現

3.1 導入數據集

3.2 數據集切分

3.3 實現KNN

4:構造kd樹實現

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