二解 ZOJ3203 Light Bulb（數學和三分）

題目傳送門：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3203
題目大意是：
　　相比 wildleopard 的家，他的弟弟 mildleopard 比較窮。他的房子是狹窄的而且在他的房間裏面僅有一個燈泡。每天晚上，他徘徊在自己狹小的房子裏，思考如何賺更多的錢。有一天，他發現他的影子的長度隨着他在燈泡和牆壁之間走到時發生着變化。一個突然的想法出現在腦海裏，他想知道他的影子的最大長度。
　　【輸入】
　　輸入文件的第一行包含一個整數 T ，表示測試數據的組數。
　　對於每組測試數據，僅一行，包含三個實數H，h和D,H表示燈泡的高度，h表示 mildleopard 的身高，D 表示燈泡和牆的水平距離。
【輸出】
　　輸出文件共 T 行，每組數據佔一行表示影子的最大長度，保留三位小數。
【樣例輸入】
3
2 1 0.5
2 0.5 3
4 3 4
【樣例輸出】
1.000
0.750
4.000
【提示】
T≤100，10⁻²≤H,h,D≤10³，10^(−2)≤H−h。
一、數學分析：我們發現，人的影子有三種狀態：
　　1.影子全在地上。
　　2.影子一部分在地上，一部分在牆上。
　　3.影子全在牆上。
就情況1來說：當人從燈下往牆的方向走時，影子是逐漸在變長的直到如下圖所示。也就是燈泡，人頭頂和牆角底端是一條直線時，這時是影子在地上的最長，按照數學的相似三角形計算，也就是人距離燈泡D-Dh/H時爲此種狀態的最大。
情況2來說：在當x(x爲與燈泡的距離)在（l1 , D)區間內時，影子是一部分在地上，一部分在牆上的.,通過計算設人與燈泡的距離爲x,牆上的影子長度爲y，
　　則(h-y)/(H-y) = (D - x)/D,
　　轉化成含有x的函數表達y後，y = H - D(H-h)/x.
　　因爲Ｌ＝ y　+ D - x
　　所以L = D + H - x - D*(H-h)/x.
　　其中後面的含有x的部分是對勾函數（f(x) = x + D*(H-h)/x）.
　　因此L = D+H - f(x)，當f(x)有最小值時，L有最大值。根據對勾函數的最值公式，可以知道最大值L=D+H- 2sqrt(D(H-h)).
情況3：影子全在牆上時，影長爲h.
情況分析了後，那麼這道看似特別難的題就這樣變成了數學推算和分支語法的題了，具體代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int main(){
    int z;
    double H,h,D;
    cin >> z;
    for(int i=0;i<=z-1;i++){
        cin >> H>> h >> D;
        double x1 = sqrt(D*(H-h));
        double xx0 = D*h/H;
        if( x1 >=D || x1 <=D - xx0){  //情況1與3
            if(h>=xx0)   printf("%.3lf\n",h);
            else         printf("%.3lf\n",xx0);
            
        }
        else if(x1 > D - xx0 &&x1 < D){ //情況2
	            printf("%.3lf\n",D+H-2*x1);
	        }
        }
    return 0;
}

二、三分答案
介於上面的分析，我們知道此問題的解一定在區間[D-Dh/H,D]之間，並且已經分析出L = D + H - x - D(H-h)/x.是一個對勾函數的一部分，它是一個有單個峯值的圖像，可以採用三分的方式，逐漸逼近峯值求得解。因此使用三分模板來解，如下所示：

#include <bits/stdc++.h>  
using namespace std;
double H,h,D;
double cal(double x){
    return D-x+H-D*(H-h)/x;
}
int main(){
    double left , right;
    int t;
    cin >> t;
    while(t)
    {
          cin >> H >> h >> D;
          left = D - D*h/H;
          right = D;
          while(right - left > 1e-10){
            double lmid = left + (right - left)/3;
            double rmid = right - (right - left)/3;
            if(cal(lmid) < cal(rmid)) left = lmid;
            else right = rmid; 
          }
          printf("%.3lf\n",cal(left));
          t--;
    }    
    return 0;
}

以前只想到用三分寫此題，今年小白們數學好，硬是拿數學來分析得到了這個數學方法，教學相長也！