【动态规划】最小编辑距离

前言

刚刚开始不太能理解动态规划，现在我感觉，动态规划就是

• 理解题意
• 根据题意给出初始值
• 根据关系式利用初始值开始递推

题目

给定两个字符串A和B，求字符串A至少经过多少步字符操作变成字符串B。

思考

因为是用动态规划解决问题，按照动态规划的尿性

1. 我们先思考一下第一个字符串的情况
   我们假设A的长度为lenA，B的长度为lenB
   那么A和B的编辑距离为
   • 当A的第一个字符和B的第一个字符相等
     则我们只需要考虑[2,lenA]和[2,lenB]的最短编辑距离
   • 当A的第一个字符和B的第一个字符不相等（这里为了方便举例：我们假设A为aab，B为bacsd）
     当A和B的第一个字符串不相等的时候，我们可以通过三种操作来使A和B的编辑距离相等
     • 替换：我们可以把A的第一个字符串修改成B的第一个字符串，此时A变为bab，B变为bacsd，因为A和B的第一个字符串相等了，所以我们只需要计算[2,lenA]和[2,lenB]的最短编辑距离
     • 删除：我们可以把A的第一个字符串删除，此时A变为ab，B还为bacsd，这样我们就只需要计算[2,lenA]和[1,lenB]的最短编辑距离了
     • 添加：我们可以把B的第一个字符串添加到A字符串的前面（0的位置），此时A变为bab，B还为bacsd，由于在此刻A和B的第一个字符串相等，因此我们在计算最短编辑距离的时候，可以将他们一起删除，这样我们就只需要计算A[1,lenA]和B[2,lenB]的最短编辑距离了。
2. 我们接下来思考一下A字符串的第i个字符和B字符串的第j个字符串的情况
   此时我们不需要考虑A字符串的[1,i-1]和B字符串的[1,j-1]因为在动态规划中他们已经被计算好了。

• 当A字符串的第i个字符串和B的第j个字符串相等
  那么他的最短编辑距离就等于A[1,i-1]和B[1,j-1]的最短编辑距离
• 当A字符串的第i个字符和B的第j个字符串不相等
  那么它的最短编辑距离就等于
  • 替换：我们可以把A字符串的第i个字符替换成B字符串的第j个字符，这样最短编辑距离就等于A[1,i-1]和B[1,j-1]的最短编辑距离加一（加一是因为进行了一次操作）
  • 删除：我们可以把A字符串的第i个字符串删除，这样最短编辑距离就等于A[1,i-1]和B[1,j]的最短编辑距离加一
  • 增加：我们可以把B字符串的第j个字符串添加到A字符串的背后，然后把它们一起划去，这样最短编辑距离就等于A[1,i]和B[1,j-1]的最短编辑距离

以上就是关于最短编辑距离的思路。
在以下函数中，我们用edit数组记录最短编辑距离，edit[i][j]表示A字符串的第i个字符和B字符串的第j个字符的最短编辑距离

代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#define M 100
#define N 100
void min(char* s1, char* s2){
	int m = strlen(s1);
	int n = strlen(s2);
	int edit[M][N];
	for (int i = 0; i <= m; i++)
	{
		edit[i][0] = i;
	}
	for (int j = 0; j <= n; j++)
	{
		edit[0][j] = j;
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			if (s1[i-1] == s2[j-1]) {
				edit[i][j] = edit[i - 1][j - 1];
			}else {
				(edit[i - 1][j] < edit[i][j - 1]) ? edit[i][j] = edit[i - 1][j] + 1 : edit[i][j] = edit[i][j - 1] + 1;
			}
		}
	}
	for (int i = 0;i <= m;i++) {
		for (int j = 0;j <= n;j++) {
			printf("%d", edit[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
}
int main(void) {
	char s1[M] ;
	char s2[N] ;
	scanf("%s %s", s1, s2);
	min(s1, s2);
	return 0;
}