1. 结合Logistic Regression 分析 Softmax
训练集由 m m m 个已标记的样本构成:{ ( x ( 1 ) , y ( 1 ) ) , . . . , ( x ( m ) , y ( m ) ) } \{(x^{(1)}, y^{(1)}), ... , (x^{(m)}, y^{(m)})\} { ( x ( 1 ) , y ( 1 ) ) , . . . , ( x ( m ) , y ( m ) ) } ,其中输入的第 i i i 个样例 x ( i ) ∈ ℜ n + 1 x^{(i)} \in \Re^{n+1} x ( i ) ∈ ℜ n + 1 ,即特征向量 x x x 的维度为 n + 1 n + 1 n + 1 ,其中 x 0 = 1 x_0 = 1 x 0 = 1 对应截距项。由于 logistic 回归是针对二分类问题的,因此类标记 y ( i ) ∈ { 0 , 1 } y^{(i)} \in \{0,1\} y ( i ) ∈ { 0 , 1 } 。假设函数(hypothesis function) 如下:
h θ ( x ) = 1 1 + e ( − θ T x )
h_\theta(x) = \frac{1}{1+e^{(-\theta^Tx)}}
h θ ( x ) = 1 + e ( − θ T x ) 1
我们将训练模型参数 θ \theta θ ,使其能够最小化代价函数 :
J ( θ ) = − 1 m [ ∑ i = 1 m y ( i ) log h θ ( x ( i ) ) + ( 1 − y ( i ) ) log ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) ]
J(\theta) = -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) \right]
J ( θ ) = − m 1 [ i = 1 ∑ m y ( i ) log h θ ( x ( i ) ) + ( 1 − y ( i ) ) log ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) ]
而在 Softmax回归 中,我们解决的是多分类问题(相对于 logistic 回归解决的二分类问题),类标 y \textstyle y y 可以取 k \textstyle k k 个不同的值(而不是 2 个)。因此,对于训练集 { ( x ( 1 ) , y ( 1 ) ) , … , ( x ( m ) , y ( m ) ) } \{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \} { ( x ( 1 ) , y ( 1 ) ) , … , ( x ( m ) , y ( m ) ) } ,我们有 y ( i ) ∈ { 1 , 2 , … , k } y^{(i)} \in \{1, 2, \ldots, k\} y ( i ) ∈ { 1 , 2 , … , k } 。(注意此处的类别下标从 1 开始,而不是 0)。例如,在 MNIST 数字识别任务中,我们有 k = 10 \textstyle k=10 k = 1 0 个不同的类别。
对于输入的每一个样例 x ( i ) ∈ ℜ n + 1 x^{(i)} \in \Re^{n+1} x ( i ) ∈ ℜ n + 1 ,输出其属于每一类别 j j j 的概率值 p ( y = j ∣ x ) \textstyle p(y=j | x) p ( y = j ∣ x ) ,即输出一个 k k k 维向量(向量元素的和为1)来表示这 k k k 个估计的概率值。即 Softmax
的假设函数 为 h θ ( x ( i ) ) h_{\theta}(x^{(i)}) h θ ( x ( i ) )
h θ ( x ( i ) ) = [ p ( y ( i ) = 1 ∣ x ( i ) ; θ ) p ( y ( i ) = 2 ∣ x ( i ) ; θ ) ⋮ p ( y ( i ) = k ∣ x ( i ) ; θ ) ] = 1 ∑ j = 1 k e θ j T x ( i ) [ e θ 1 T x ( i ) e θ 2 T x ( i ) ⋮ e θ k T x ( i ) ]
h_\theta(x^{(i)}) =
\begin{bmatrix}
p(y^{(i)} = 1 | x^{(i)}; \theta) \\
p(y^{(i)} = 2 | x^{(i)}; \theta) \\
\vdots \\
p(y^{(i)} = k | x^{(i)}; \theta)
\end{bmatrix}
=\frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} }
\begin{bmatrix}
e^{ \theta_1^T x^{(i)} } \\
e^{ \theta_2^T x^{(i)} } \\
\vdots \\
e^{ \theta_k^T x^{(i)} } \\
\end{bmatrix}
h θ ( x ( i ) ) = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ p ( y ( i ) = 1 ∣ x ( i ) ; θ ) p ( y ( i ) = 2 ∣ x ( i ) ; θ ) ⋮ p ( y ( i ) = k ∣ x ( i ) ; θ ) ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ∑ j = 1 k e θ j T x ( i ) 1 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ e θ 1 T x ( i ) e θ 2 T x ( i ) ⋮ e θ k T x ( i ) ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
其中 θ 1 , θ 2 , … , θ k ∈ ℜ n + 1 \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k \in \Re^{n+1} θ 1 , θ 2 , … , θ k ∈ ℜ n + 1 是模型的参数。请注意 1 ∑ j = 1 k e θ j T x ( i ) \frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} } ∑ j = 1 k e θ j T x ( i ) 1 这一项对概率分布进行归一化,使得所有概率之和为 1
其代价函数 为:
J ( θ ) = − 1 m [ ∑ i = 1 m ∑ j = 1 k 1 { y ( i ) = j } log e θ j T x ( i ) ∑ l = 1 k e θ l T x ( i ) ]
J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }}\right]
J ( θ ) = − m 1 [ i = 1 ∑ m j = 1 ∑ k 1 { y ( i ) = j } log ∑ l = 1 k e θ l T x ( i ) e θ j T x ( i ) ]
其中 1 { ⋅ } 1\{\cdot\} 1 { ⋅ } 为指示函数:
1 { ⋅ } = { 1 { 表 达 式 值 为 真 } = 1 1 { 表 达 式 值 为 假 } = 0
1\{\cdot\} =
\begin{cases}
1\{表达式值为真\} = 1 \\
1\{表达式值为假\} = 0 \\
\end{cases}
1 { ⋅ } = { 1 { 表 达 式 值 为 真 } = 1 1 { 表 达 式 值 为 假 } = 0
梯度下降公式:
∇ θ j J ( θ ) = − 1 m ∑ i = 1 m [ x ( i ) ( 1 { y ( i ) = j } − p ( y ( i ) = j ∣ x ( i ) ; θ ) ) ]
\nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} \left( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) \right) \right] }
∇ θ j J ( θ ) = − m 1 i = 1 ∑ m [ x ( i ) ( 1 { y ( i ) = j } − p ( y ( i ) = j ∣ x ( i ) ; θ ) ) ]
2. Softmax
结合上面理解此时的 Softmax函数:
h θ ( x ) = σ ( θ T x ) = σ ( z ) = ( σ 1 ( z ) , … , σ m ( z ) )
h_{\theta}(x) = \sigma(\theta^T x) = \sigma(z) = \left({\color{Red}{\sigma{1}(z)}}, \ldots, \sigma_{m}(z)\right)
h θ ( x ) = σ ( θ T x ) = σ ( z ) = ( σ 1 ( z ) , … , σ m ( z ) )
此时的 x x x 为一个样例输入 ∈ ℜ n + 1 \in \Re^{n+1} ∈ ℜ n + 1 ,等价与上面的一个 x ( i ) x^{(i)} x ( i ) ,其中共有 m m m 个类别,z i z_i z i 表示输入样例 x x x 是第 i i i 个类别的线性预测结果,等价于 z i = θ i T x z_i = \theta^T_i x z i = θ i T x
Softmax 函数 σ ( z ) = ( σ 1 ( z ) , … , σ m ( z ) ) \sigma(z)=\left({\color{Red}{\sigma_{1}(z)}}, \ldots, \sigma_{m}(z)\right) σ ( z ) = ( σ 1 ( z ) , … , σ m ( z ) ) 定义如下:
o i = σ i ( z ) = exp ( z i ) ∑ j = 1 m exp ( z j ) , i = 1 , … , m 【 观 察 到 的 数 据 x ( 或 z ) 属 于 类 别 i 的 概 率 , 或 者 称 作 似 然 ( L i k e l i h o o d ) 】
{\color{Green}{o_i}} = {\color{Red}{\sigma_{i}(z)}}
=\frac{\exp \left(z_{i}\right)}{\sum_{j=1}^{m} \exp \left(z_{j}\right)}, \quad i=1, \ldots, m \\
{\color{Green}{【观察到的数据 \ x \ (或z)\ 属于类别\ i\ 的概率,或者称作似然 (Likelihood)】}}
o i = σ i ( z ) = ∑ j = 1 m exp ( z j ) exp ( z i ) , i = 1 , … , m 【 观 察 到 的 数 据 x ( 或 z ) 属 于 类 别 i 的 概 率 , 或 者 称 作 似 然 ( L i k e l i h o o d ) 】
它在 Logistic Regression 里其到的作用是讲线性预测值转化为类别概率:m m m 代表类别数,假设 z i = w i T x + b i z_i = w_i^Tx + b_i z i = w i T x + b i 是第 i i i 个类别的线性预测结果,带入 S o f t m a x Softmax S o f t m a x 的结果其实就是先对每一个 z i z_i z i 取 exponential 变成非负,然后除以所有项之和进行归一化,现在每个 o i = σ i ( z ) o_{i}=\sigma_{i}(z) o i = σ i ( z ) 就可以解释成:观察到的数据 x x x 属于类别 i i i 的概率,或者称作似然 (Likelihood) 。
然后 Logistic Regression 的目标函数是根据最大似然原则来建立的,假设数据 x x x 所对应的类别为 y y y ,则根据我们刚才的计算最大似然就是要最大化 o y o_y o y 的值 (通常是使用 negative log-likelihood 而不是 likelihood,也就是说最小化 − l o g ( o y ) -log(o_y) − l o g ( o y ) 的值 ,这两者结果在数学上是等价的)。后面这个操作就是 caffe 文档里说的 Multinomial Logistic Loss ,具体写出来是这个样子:
ℓ ( y , o ) = − log ( o y )
\ell(y, o)=-\log \left(o_{y}\right)
ℓ ( y , o ) = − log ( o y )
3. Softmax-Loss = Softmax + Multinomial Logistic Loss
而 Softmax-Loss 其实就是把两者结合到一起,只要把 o y o_y o y 的定义展开即可:
ℓ ~ ( y , z ) = − log ( e z y ∑ j = 1 m e z j ) = log ( ∑ j = 1 m e z j ) − z y 【 将 观 察 到 的 数 据 x ( 或 z ) 属 于 类 别 y 的 概 率 做 最 大 似 然 估 计 , 或 最 小 n e g a t i v e l o g 似 然 】
\tilde{\ell}(y, z)=-\log \left(\frac{e^{z_{y}}}{\sum_{j=1}^{m} e^{z_{j}}}\right)=\log \left(\sum_{j=1}^{m} e^{z_{j}}\right)-z_{y} \\
{\color{Green}{\small{【将观察到的数据 \ x \ (或z)\ 属于类别 \ y \ 的概率做最大似然估计,或最小\ negative\ log\ 似然】}}} \\
ℓ ~ ( y , z ) = − log ( ∑ j = 1 m e z j e z y ) = log ( j = 1 ∑ m e z j ) − z y 【 将 观 察 到 的 数 据 x ( 或 z ) 属 于 类 别 y 的 概 率 做 最 大 似 然 估 计 , 或 最 小 n e g a t i v e l o g 似 然 】
比如如果我们要写一个 Logistic Regression 的 solver,那么因为要处理的就是这个东西,比较自然地就可以将整个东西合在一起来考虑,或者甚至将 z i = w i T x + b i z_i = w_i^Tx + b_i z i = w i T x + b i 的定义直接一起带进去然后对 w w w 和 b b b 进行求导来得到 Gradient Descent 的 update rule.
反过来,如果是在设计 Deep Neural Networks 的库,则可能会倾向于将两者分开来看待:因为 Deep Learning 的模型都是一层一层叠起来的结构,一个计算库的主要工作是提供各种各样的 layer,然后让用户可以选择通过不同的方式来对各种 layer 组合得到一个网络层级结构就可以了。比如用户可能最终目的就是得到各个类别的概率似然值,这个时候就只需要一个 Softmax Layer
,而不一定要进行 Multinomial Logistic Loss
操作;或者是用户有通过其他什么方式已经得到了某种概率似然值,然后要做最大似然估计,此时则只需要后面的 Multinomial Logistic Loss
而不需要前面的 Softmax
操作。因此提供两个不同的 Layer 结构比只提供一个合在一起的 Softmax-Loss Layer 要灵活许多。从代码的角度来说也显得更加模块化。但是这里自然地就出现了一个问题:numerical stability 。
假设我们直接使用一层 Softmax-Loss
层,计算输入数据 z k z_k z k 属于类别 y y y 的概率的极大似然估计。由于 Softmax-Loss
层是最顶层的输出层,则可以直接用最终输出 (loss): ℓ ~ ( y , z ) \tilde{\ell}(y, z) ℓ ~ ( y , z ) 求对输入 z k z_k z k 的偏导数:
∂ ℓ ~ ( y , z ) ∂ z k = ∂ ∂ z k ( log ( ∑ j = 1 m e z j ) − z y ) = exp ( z k ) ∑ j = 1 m exp ( z j ) − δ k y = σ k ( z ) − δ k y
\begin{aligned}
\frac{\partial \tilde{\ell}(y, z)}{\partial z_{k}}
& = \frac{\partial}{\partial z_{k}} \left(\log \left(\sum_{j=1}^{m} e^{z_{j}}\right)-z_{y} \right)\\
& = \frac{\exp \left(z_{k}\right)}{\sum_{j=1}^{m} \exp \left(z_{j}\right)}-\delta_{k y}=\sigma_{k}(z)-\delta_{k y}
\end{aligned}
∂ z k ∂ ℓ ~ ( y , z ) = ∂ z k ∂ ( log ( j = 1 ∑ m e z j ) − z y ) = ∑ j = 1 m exp ( z j ) exp ( z k ) − δ k y = σ k ( z ) − δ k y
其中 σ k ( z ) \sigma_k(z) σ k ( z ) 是 Softmax-Loss
的中间步骤 Softmax
在 Forward Pass 的计算结果,而
δ k y = { 1 k = y 0 k ≠ y
\delta_{k y}=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {k=y} \\ {0} & {k \neq y}\end{array}\right.
δ k y = { 1 0 k = y k ̸ = y
即 Softmax-Loss 层的梯度为 :
∂ ℓ ~ ( y , z ) ∂ z k = { σ k ( z ) − 1 , k = y σ k ( z ) , k ≠ y
\begin{aligned}
\frac{\partial \tilde{\ell}(y, z)}{\partial z_{k}} =
\begin{cases}
\sigma_{k}(z) - 1 , & k = y \\
\sigma_{k}(z) , &k \ne y
\end{cases}
\end{aligned}
∂ z k ∂ ℓ ~ ( y , z ) = { σ k ( z ) − 1 , σ k ( z ) , k = y k ̸ = y
Softmax + Multinomial Logistic Loss 两层分开叠加构造的损失层梯度的计算
接下来看,如果是 Softmax
层和 Multinomial Logistic Loss
层分成两层会是什么样的情况呢?继续回忆刚才的记号:我们把 Softmax
层的输出,也就是 Loss 层的输入记为 o i = σ i ( z ) o_{i}=\sigma_{i}(z) o i = σ i ( z ) ,因此我们首先要计算顶层的 Multinomial Logistic Loss 层 输出,对 Softmax
层输入的梯度:
∂ ℓ ( y , o ) ∂ o i = ∂ ∂ o i ( − log ( o y ) ) = − δ i y o y
\begin{aligned}
\frac{\partial \ell(y, o)}{\partial o_{i}}
& = \frac{\partial}{\partial o_{i}} \left(-\log \left(o_{y}\right)\right) \\
& = -\frac{\delta_{i y}}{o_{y}}
\end{aligned}
∂ o i ∂ ℓ ( y , o ) = ∂ o i ∂ ( − log ( o y ) ) = − o y δ i y
即 Multinomial Logistic Loss 层梯度为 :
∂ ℓ ( y , o ) ∂ o i { − 1 o y , i = y 0 , i ≠ y
\begin{aligned}
\frac{\partial \ell(y, o)}{\partial o_{i}}
\begin{cases}
-\frac{1}{o_{y}}, &i = y \\
0 , &i \ne y
\end{cases}
\end{aligned}
∂ o i ∂ ℓ ( y , o ) { − o y 1 , 0 , i = y i ̸ = y
然后我们把这个导数向下传递,现在到达 Softmax 层 ,在 apply chain rule 之前,首先计算层内的导数
∂ o i ∂ z k = ∂ ∂ z k exp ( z i ) ∑ j = 1 m exp ( z j ) = δ i k e z i ( ∑ j = 1 m e z j ) − e z i e z k ( ∑ j = 1 m e z j ) 2 = δ i k o i − o i o k
\begin{aligned}
\frac{\partial o_{i}}{\partial z_{k}}
& = \frac{\partial}{\partial z_{k}} \frac{\exp \left(z_{i}\right)}{\sum_{j=1}^{m} \exp \left(z_{j}\right)} \\
& =\frac{\delta_{i k} e^{z_{i}}\left(\sum_{j=1}^{m} e^{z_{j}}\right)-e^{z_{i}} e^{z_{k}}}{\left(\sum_{j=1}^{m} e^{z_{j}}\right)^{2}} \\
& =\delta_{i k} o_{i}-o_{i} o_{k}
\end{aligned}
∂ z k ∂ o i = ∂ z k ∂ ∑ j = 1 m exp ( z j ) exp ( z i ) = ( ∑ j = 1 m e z j ) 2 δ i k e z i ( ∑ j = 1 m e z j ) − e z i e z k = δ i k o i − o i o k
即 Softmax 层的梯度为:
∂ o i ∂ z k { o i ( 1 − o k ) , k = i − o i o k , k ≠ i
\begin{aligned}
\frac{\partial o_{i}}{\partial z_{k}}
\begin{cases}
o_i(1 - o_k), & k = i \\
-o_i o_k, & k \ne i
\end{cases}
\end{aligned}
∂ z k ∂ o i { o i ( 1 − o k ) , − o i o k , k = i k ̸ = i
如果用 Chain Rule 带进去验算一下的话:
∑ i = 1 m ∂ o i ∂ z k ⋅ ∂ ℓ ( y , o ) ∂ o i = ( δ i k o i − o i o k ) ⋅ ( − δ i y o y ) ⇓ 根 据 链 式 法 则 , 当 i = y 才 能 往 前 传 递 , 即 把 上 面 的 i 都 用 y 替 换 即 可 = ( δ y k o y − o y o k ) ⋅ ( − 1 o y ) = o k − δ y k
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{m} \frac{\partial o_{i}}{\partial z_{k}} \cdot \frac{\partial \ell(y, o)}{\partial o_{i}}
& = (\delta_{i k} o_{i}-o_{i} o_{k}) \cdot (-\frac{\delta_{i y}}{o_{y}}) \\
& {\color{Red}{\small{\Downarrow 根据链式法则,当 i = y \ 才能往前传递,即把上面的\ i\ 都用\ y \ 替换即可}}} \\
& = (\delta_{y k} o_{y}-o_{y} o_{k}) \cdot (-\frac{1}{o_{y}}) \\
& = o_{k}-\delta_{y k}
\end{aligned}
i = 1 ∑ m ∂ z k ∂ o i ⋅ ∂ o i ∂ ℓ ( y , o ) = ( δ i k o i − o i o k ) ⋅ ( − o y δ i y ) ⇓ 根 据 链 式 法 则 , 当 i = y 才 能 往 前 传 递 , 即 把 上 面 的 i 都 用 y 替 换 即 可 = ( δ y k o y − o y o k ) ⋅ ( − o y 1 ) = o k − δ y k
和刚才的结果一样的,看来我们求导没有求错。虽然最终结果是一样的,但是我们可以看出,如果分成两层计算的话,要多算好多步骤,除了计算量增大了一点,我们更关心的是数值上的稳定性。由于浮点数是有精度限制的,每多一次运算就会多累积一定的误差,注意到分成两步计算的时候我们需要计算 δ i y / o y \delta_{iy}/o_y δ i y / o y 这个量,如果碰巧这次预测非常不准,o y o_y o y 的值,也就是正确的类别所得到的概率非常小(接近零)的话,这里会有 overflow 的危险。下面我们来实际试验一下,首先定义好两种不同的计算函数:
function softmax( z)
o = exp( z)
return o / sum ( o)
end
function gradient_together( z, y)
o = softmax( z)
o[ y] -= 1.0
return o
end
function gradient_separated( z, y)
o = softmax( z)
∂o_∂z = diagm( o) - o* o'
∂f_∂o = zeros( size( o) )
∂f_∂o[ y] = - 1.0 / o[ y]
return ∂o_∂z * ∂f_∂o
end
然后由于 float (Float32
) 比 double (Float64
) 的精度要小很多,我们就以 double 的计算结果为近似的“正确值”,然后来比较两种情况下通过 float 来计算得到的结果和正确值之差。绘图代码如下:
using DataFrames
using Gadfly
M = 100
y = 1
zy = vec ( 10f 0 . ^ ( - 38 : 5 : 38 ) ) # float range ~ [ 1.2 * 10 ^ - 38 , 3.4 * 10 ^ 38 ]
zy = [ - reverse ( zy) ; zy]
srand ( 12345 )
n_rep = 50
discrepancy_together = zeros ( length ( zy) , n_rep)
discrepancy_separated = zeros ( length ( zy) , n_rep)
for i = 1 : n_rep
z = rand ( Float32, M) # use float instead of double
discrepancy_together[ : , i] = [ begin
z[ y] = x
true_grad = gradient_together ( convert ( Array{ Float64} , z) , y)
got_grad = gradient_together ( z, y)
abs ( true_grad[ y] - got_grad[ y] )
end for x in zy]
discrepancy_separated[ : , i] = [ begin
z[ y] = x
true_grad = gradient_together ( convert ( Array{ Float64} , z) , y)
got_grad = gradient_separated ( z, y)
abs ( true_grad[ y] - got_grad[ y] )
end for x in zy]
end
df1 = DataFrame ( x= zy, y= vec ( mean ( discrepancy_together, 2 ) ) ,
label= "together" )
df2 = DataFrame ( x= zy, y= vec ( mean ( discrepancy_separated, 2 ) ) ,
label= "separated" )
df = vcat ( df1, df2)
format_func ( x) = @sprintf ( "%s10<sup>%d</sup>" , x< 0 ? "-" : "" , int ( log10 ( abs ( x) ) ) )
the_plot = plot ( df, x= "x" , y= "y" , color= "label" ,
Geom. point, Geom. line, Geom. errorbar,
Guide. xticks ( ticks= int ( linspace ( 1 , length ( zy) , 10 ) ) ) ,
Scale. x_discrete ( labels= format_func) ,
Guide. xlabel ( "z[y]" ) , Guide. ylabel ( "discrepancy" ) )
这里我们做的事情是保持 z z z 的其他座标不变,而改变 z y z_y z y 也就是对应于真是 label 的那个座标的数值大小,我们刚才的推测是当 o y o_y o y 很接近零的时候会有 overflow 的危险,而 o y = σ y ( z ) o_y = \sigma_y(z) o y = σ y ( z ) ,忽略掉 normalization 的话,正比于 e x p ( z y ) exp(z_y) e x p ( z y ) ,所以我们需要把 z y z_y z y 那个座标设成绝对值很大的负数。在得到的图中我们可以看到以整个数值范围内的情况对比。 图中横座标是 z y z_y z y 的大小,纵座标是分别用两种方法计算出来的结果和“真实值”之间的差距大小。
首先可以看到的是单层直接计算确实比分成两层算要好一点,不过从纵座标上也可以看到两者差距其实非常小。往左边看的话,会发现黄色的点没有了,那是因为结果得到了 NaN
了,比如 o y o_y o y 由于求一个绝对值非常大的负数的 exponential,导致下溢超出 float 可以表示的小数点精度范围,直接变成 0 了,此时 1 / o y 1/o_y 1 / o y 就是 Inf
,当要乘以 o y o_y o y 进行 cancel 的时候得到 0 × ∞ 0 \times \infty 0 × ∞ ,对于浮点数这个操作会直接得到 NaN
,也就是 Not a Number。反过来看蓝线的话,好像有点奇怪的是越往左边好像反而变得更加精确了,其实是因为我们的“真实值”也 underflow 了,因为 double 虽然比 float 精度高很多,但是也是有限制的。根据 Wikipedia ,float 的精度范围大致是 1 0 − 38 ∼ 1 0 38 10^{-38} \sim 10^{38} 1 0 − 3 8 ∼ 1 0 3 8 ,而 double 的精度范围大致是 1 0 − 308 ∼ 1 0 308 10^{-308} \sim 10^{308} 1 0 − 3 0 8 ∼ 1 0 3 0 8 ,大了很多,但是我们不妨来看一下图中的 − 1 0 2 -10^2 − 1 0 2 这个座标点,注意到
e x = 1 0 x / log 10
e^{x}=10^{x / \log 10}
e x = 1 0 x / log 1 0
所以 exp ( − 1 0 2 ) ≈ 1 0 − 44 \exp \left(-10^{2}\right) \approx 10^{-44} exp ( − 1 0 2 ) ≈ 1 0 − 4 4 ,对于 float 来说已经下溢了,对于 double 来说还是可以表示的范围,但是和 0 的差别也已经如此小,在图上已经看不出区别来了。指数再移一格的话,exp ( − 1 0 3 ) ≈ 1 0 434 \exp \left(-10^{3}\right) \approx 10^{434} exp ( − 1 0 3 ) ≈ 1 0 4 3 4 ,会直接导致 double 也 underflow,结果我们的“真实值”也会是零,所以“误差”直接变成零了。
比较有趣的是往右边的正数半轴看,发现到了 1 0 2 10^2 1 0 2 之后蓝线和黄线都没有了,说明他们都得到了 NaN
,不过这里是另一个问题:对一个比较大的数求 exponential 非常容易发生 overflow 。还是用刚才的式子可以看到 ,已经超过了 float 可以表达的最大上限,所以会变成 Inf
,然后在 normalize 的一步会出现 Inf/Inf
这样的情况,于是就得到 NaN
了。
这个问题其实也是有解决办法的,我们刚才贴的代码里的 softmax
函数第一行有一行被注释掉的代码,就是 在求 exponential 之前将 z z z 的每一个元素减去 z i z_i z i 的最大值 。这样求 exponential 的时候会碰到的最大的数就是 0 了,不会发生 overflow 的问题,但是如果其他数原本是正常范围,现在全部被减去了一个非常大的数,于是都变成了绝对值非常大的负数,所以全部都会发生 underflow,但是 underflow 的时候得到的是 0,这其实是非常 meaningful 的近似值,而且后续的计算也不会出现奇怪的 NaN
。
证明:将输入 z z z 的每一个元素都减去 z i z_i z i 元素中的最大值,然后求 Softmax 函数结果相等
σ i ( z ) = e z i ∑ j = 1 m e z j = e z i − z m a x ∑ j = 1 m e z j − z m a x = e z i / e z m a x ∑ j = 1 m e z j / e z m a x = e z i ∑ j = 1 m e z j
\begin{aligned}
\sigma_i(z)
& = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j = 1}^{m}e^{z_j}} \\
& = \frac{e^{z_i - z_{max}}}{\sum_{j = 1}^{m}e^{z_j - z_{max}}} \\
& = \frac{e^{z_i }/e^{z_{max}}}{\sum_{j = 1}^{m}e^{z_j}/e^{z_{max}}} \\
& = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j = 1}^{m}e^{z_j}}
\end{aligned}
σ i ( z ) = ∑ j = 1 m e z j e z i = ∑ j = 1 m e z j − z m a x e z i − z m a x = ∑ j = 1 m e z j / e z m a x e z i / e z m a x = ∑ j = 1 m e z j e z i
4. Reference