本文轉自：https://blog.csdn.net/huang1024rui/article/details/46537205
數學基礎
拉普拉斯算子，二階微分線性算子，爲什麼上來就學二階微分算子，前文說過，與一階微分相比，二階微分的邊緣定位能力更強，銳化效果更好，所以我們來先學習二階微分算子，使用二階微分算子的基本方法是定義一種二階微分的離散形式，然後根據這個形式生成一個濾波模板，與圖像卷積。
各向同性濾波器，圖像旋轉後響應不變，這就要求濾波模板自身是對稱的，如果不對稱，結果就是，當原圖旋轉90°時，原圖某一點能檢測出細節（突變）的，現在卻檢測不出來，這就是各向異性的原因。我們更關心的是各向同性濾波模板，對圖像的旋轉不敏感。
對於二維圖像f(x,y)，二階微分最簡單的定義--拉普拉斯算子定義爲：
對於任意階微分算子都是線性算子，所以二階微分算子和後面的一階微分算子都可以用生成模板然後卷積的方式得出結果。
根據前面對二階微分的定義有：
根據上面的定義，與拉普拉斯算子的定義相結合，得到：
也就是一個點的拉普拉斯的算子計算結果是上下左右的灰度的和減去本身灰度的四倍。同樣，可以根據二階微分的不同定義，所有符號相反，也就是上式所有灰度值全加上負號，就是-1，-1，-1，-1，4。但要注意，符號改變，銳化的時候與原圖的加或減應當相對變化。上面是四鄰接的拉普拉斯算子，將這個算子旋轉45°後與原算子相加，就變成八鄰域的算子了，也就是一個像素周圍一圈8個像素的和與中間像素8倍的差，作爲拉普拉斯計算結果。
因爲要強調圖像中突變（細節），所以平滑灰度的區域，無響應，即模板係數的和爲0，也是二階微分必備條件。
最後的銳化公式：
g是輸出，f爲原始圖像，c是係數，也就是要加上多少細節的多少。
由於拉普拉斯算子是最簡單的各向同性微分算子，它具有旋轉不變性。一個二維圖像函數的拉普拉斯變換是各向同性的二階導數，定義爲：
用更加形象的圖像來解釋,假設我們有一張一維圖形。下圖(a)中灰度值的”躍升”表示邊緣的存在.如果使用一階微分求導我們可以更加清晰的看到邊緣”躍升”的存在(這裏顯示爲高峯值)圖（b); 如果在邊緣部分求二階導數會出現什麼情況?,圖(c)所示。(其圖片和定義公式來源於http://www.opencv.org.cn/opencvdoc/2.3.2/html/doc/tutorials/imgproc/imgtrans/laplace_operator/laplace_operator.html)。
(a) (b)
(c)
你會發現在一階導數的極值位置，二階導數爲0（對應原圖像變化最快的點）。所以我們也可以用這個特點（利用拉普拉斯算子爲0的點）來作爲檢測圖像邊緣的方法。 但是， 二階導數的0值不僅僅出現在邊緣(它們也可能出現在無意義的位置),但是我們可以過濾掉這些點。
爲了更適合於數字圖像處理，將該方程表示爲離散形式：
另外，拉普拉斯算子還可以表示成模板的形式，以便更好編程需要。如圖1所示。
圖1（a）表示離散拉普拉斯算子的模板，圖1（b）表示其擴展模板，圖1（c）則分別表示其他兩種拉普拉斯的實現模板。從模板形式容易看出，如果在圖像中一個較暗的區域中出現了一個亮點，那麼用拉普拉斯運算就會使這個亮點變得更亮（*0值=0=白色？？）。【當鄰域中心像素灰度低於它所在的領域內其它像素的平均灰度時，此中心像素的灰度應被進一步降低，當鄰域中心像素灰度高於它所在的鄰域內其它像素的平均灰度時，此中心像素的灰度應被進一步提高，以此實現圖像的銳化處理。】因爲圖像中的邊緣就是那些灰度發生跳變的區域，所以拉普拉斯銳化模板在邊緣檢測中很有用。一般增強技術對於陡峭的邊緣和緩慢變化的邊緣很難確定其邊緣線的位置。但此算子卻可用二次微分正峯和負峯之間的過零點來確定，對孤立點或端點更爲敏感，因此特別適用於以突出圖像中的孤立點、孤立線或線端點爲目的的場合。同梯度算子一樣，拉普拉斯算子也會增強圖像中的噪聲，有時用拉普拉斯算子進行邊緣檢測時，可將圖像先進行平滑處理。
圖像銳化處理的作用是使灰度反差增強，從而使模糊圖像變得更加清晰。圖像模糊的實質就是圖像受到平均運算或積分運算，因此可以對圖像進行逆運算，如微分運算能夠突出圖像細節，使圖像變得更爲清晰。由於拉普拉斯是一種微分算子，它的應用可增強圖像中灰度突變的區域，減弱灰度的緩慢變化區域。因此，銳化處理可選擇拉普拉斯算子對原圖像進行處理，產生描述灰度突變的圖像，再將拉普拉斯圖像與原始圖像疊加而產生銳化圖像。拉普拉斯銳化的基本方法可以由下式表示：
這種簡單的銳化方法既可以產生拉普拉斯銳化處理的效果，同時又能保留背景信息，將原始圖像疊加到拉普拉斯變換的處理結果中去，可以使圖像中的各灰度值得到保留，使灰度突變處的對比度得到增強，最終結果是在保留圖像背景的前提下，突現出圖像中小的細節信息。但其缺點是對圖像中的某些邊緣產生雙重響應。