【回溯法】用子集树和排序树解决n后问题

回溯法

在问题的解空间树中，按深度优先策略，根节点出发搜索解空间树，算法搜索至解空间的任意节点时，先判断该节点是否包含问题的解，若肯定不包含，则跳过对以该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则进入该子树，继续按根深度优先搜索。

子集树和排列树的区别

书上写的

• 当所给问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间树称为子集树。子集树的时间复杂度为2^n
• 当所给的问题时确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间树成为排列树。排列树的时间复杂度为n!

我自己的概括

• 子集树的思想为深度优先算法，从根节点出发，不断访问符合条件的子节点，（如果不符合，则进行剪枝并访问该结点的兄弟节点），当访问到叶节点的时候，进行输出或者计数等操作，然后对叶节点的兄弟结点进行访问，直到访问结束，再访问叶节点的根节点的兄弟结点（回溯）。
• 排列树也是从根节点触发，不断访问符合条件的子节点，但是排列树的t值和子集树的t值不一样，子集树的t值可以代表每一个作业，而排列树的t值仅仅可以代表作业的顺序。

// n后问题
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define M 100
int sum = 0;
int ok(int k,int *x) {
	for (int j= 1; j < k; j++) {
		if ((abs(k - j) == abs(x[j] - x[k]))||(x[j]==x[k])) {
			return 0;
		}
	}
	return 1;
}
void BackTrack(int t,int *x,int n) {
	if (t > n) {
		sum++;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			printf("%d", x[i]);
		}
		printf("\n");
	}
	else
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			x[t] = i;
			if (ok(t,x)) BackTrack(t + 1,x,n);
		}
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	int x[M];
	for (int i = 0; i <= n; i++){
		x[i] = 0;
	}
	BackTrack(1, x, n);
	printf("%d", sum);
}

排列树
排列树是我利用了排列树的思想，在子集树的基础上修改得来的

把排列树改成子集树，有几点需要注意：

1. 子集树求得是集合，所以初始化集合的时候，把他们都赋值为0，表示都没有放东西，然后在回溯的时候，会将他们一一赋值。而排列树求的是排列，所以我们要把需要被排列的值作为初值赋给数组。
2. 子集树在从根节点到子节点的过程中，每个结点的取值都有n中可能性，我们为了不重复，需要通过合法性判断这个子集有没有重复，而排列树不需要这么做，排列树选完一个值之后，就会从剩下的值中继续挑选，这样我们就不需要判断有没有重复了。

// n后问题
//
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define M 100
int sum = 0;
int ok(int k,int *x) {
	for (int j= 1; j < k; j++) {
		if ((abs(k - j) == abs(x[j] - x[k])) {
			return 0;
		}
	}
	return 1;
}
void swap(int* x, int t, int i) {
	int q = x[t];
	x[t] = x[i];
	x[i] = q;
}
void BackTrack(int t,int *x,int n) {
	if (t > n) {
		sum++;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			printf("%d", x[i]);
		}
		printf("\n");
	}
	else
		for (int i = t; i <= n; i++) {
			swap(x,t, i);
			if (ok(t,x)) BackTrack(t + 1,x,n);
			swap(x,t, i);
		}
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	int x[M];
	for (int i = 0; i <= n; i++){
		x[i] = i;
		//初始化排列
	}
	BackTrack(1, x, n);
	printf("%d", sum);
}