概率題目彙總

球隊兩強相遇

8只球隊，有3個強隊，其餘都是弱隊，隨機把它們分成4組比賽，每組兩個隊，問兩強相遇的概率是多大？

解題思路：

1. 首先求出8只球隊分成4組的方法數：第一隊有7種，第二隊有5種，第三隊有3種，第四隊就剩下1種，所以總數爲 7 × 5 × 3 × 1 = 105 種。
2. 沒有兩強相遇的方法數：在5個弱隊中選出3個與強隊配對，總數爲 C(5,3) × A(3,3) = 60 種。
3. 兩強不相遇的概率爲：(105-60)/105 = 3/7。

螞蟻碰頭

三隻螞蟻從正三角形的三個頂點沿着邊移動，速度是相同的，問它們碰頭的概率是多少？

解題思路：

如果3只螞蟻方向都相同，一定不會相遇，所以3只螞蟻方向一定有不同。
每隻螞蟻方向數有2種，一共3只螞蟻，一共有 2³ = 8 種方向排列。
其中，只有完全順時針和完全逆時針這2種情況下不相遇，所以相遇的概率爲：
(8-2) / 8 = 0.75

男女比例

某地區重男輕女，一個家庭如果生出一個女孩就一直生，直到生出男孩就停止生育。假設一胎只出生一個孩子，問時間足夠長後，男女比例是會變爲多少？

解題思路：

假設這個地區一共有n個家庭：
n/2 的家庭第一胎就生出男孩，所以只有1個孩子。
n/4 的家庭先生1女孩，再生1男孩，有2個孩子。
n/8 的家庭先生2女孩，再生1男孩，有3個孩子。
…
所以孩子總數爲：
n/2 + (n/4)×2 + (n/8)×3 + (n/16)×4 + … + n/2^n×n = 2 × n
(求解過程：兩邊同乘2，再錯位相減。)
因爲每個家庭都會有一個男孩，所以男孩有n個，則女孩數爲 2n-n = n 個
所以比例爲 1：1

隨機函數

給定一個等概率隨機產生1-5的隨機函數，除此之外，不能使用任何額外的隨機機制，請實現等概率隨機產生1-7的隨機函數。

解題思路：

1. 等概率隨機函數產生 1、2、3、4、5
2. 將上述結果-1，將得到 f() ，其結果爲0、1、2、3、4
3. f() × 5 的結果爲0、5、10、15、20
4. f() × 5 + f() 的結果爲0、1、2、3、4、5 … 24
5. 如果步驟4的結果大於20，則重複步驟4，直到結果在0-20之間
6. 步驟5的結果將等概率隨機產生0-20，所以步驟5的結果**%7**之後就可以等概率產生0-6
7. 再將步驟6的結果+1即可

等概率產生0和1

給定一個以p概率產生0，以1-p概率產生1的隨機函數f()，p是固定的值，但你並不知道是多少。除此之外也不能使用任何額外的隨機機制，請用f()實現等概率隨機產生0和1的隨機函數。

解題思路：

產生01和10序列的概率都爲 P × (1-P)，所以不斷調用f，直到產生的結果爲01或10。如果產生了01，就返回0；如果產生了10，就返回1。

出現概率變爲k次方

假設函數f()等概率隨機返回一個在[0,1)範圍上的浮點數，那麼在[0,x)區間上的數出現的概率爲x(0<x<=1)。給定一個大於0的整數k，並且可以使用f()函數，請事先一個函數依然返回在[0,1)範圍上的數，但是在[0,x)區間上的數出現的概率爲x的k次方。

解題思路：

先找出將概率x調整至x²的方法：調用兩次f()，返回較大的數即可。
所以，同理，只需要調用k次f()，返回較大的數即可。

等概率打印

給定一個長度爲N且沒有重複元素的數組arr和一個整數M，實現函數等概率隨機打印arr中的M個數。

解題思路：

在0 - N-1中隨機得到一個位置a，打印arr[a]，然後將a和N-1進行交換，在從0 - N-2中隨機得到一個位置b，打印arr[b]，再與隊尾交換，… ，直到打印了M個數。

概率動態變化-蓄水池抽樣算法

原題：
有一個機器按自然數序列的方式吐出球，1號球，2號球，3號球等等。你有一個袋子，袋子裏最多隻能裝下K個球，並且除袋子以外，你沒有更多的空間，一個球一旦扔掉，就再也不可拿回。設計一種選擇方式，使得當機器吐出第N號球的時候，你袋子中的球數是K個，同時可以保證從1號球到N號球中的每一個，被選進袋子的概率都是k/N。

改編題：
有一個只能裝下10個球的袋子，當吐出100個球時，袋子裏有10個球，並且1-100號中的每一個球被選中的概率都是10/100。然後繼續吐球，當吐出1000個球時，袋子裏有10個球，並且1-1000號中的每一個球被選中的概率都是10/1000。繼續吐球，當吐出 i 個球時，袋子裏有10個球，並且1-i 號中的每一個球被選中的概率都是10/i。也就是隨着N的變化，1-N號球被選中的概率動態變化成k/N。

解題思路—蓄水池抽樣算法：

1. 處理1-k號球時，直接放進袋子裏。
2. 處理第 i 號球時，以 k/i 的概率決定是否將第 i 號球放進袋子中。如果不決定將第 i 號球放進袋子，直接扔掉第 i 號球。如果決定將第 i 號球放進袋子，那麼就從袋子裏的k個球中隨機扔掉一個，然後把第 i 號球放入袋子。

證明：

1. 假設第 i 號球被選中並且 1<=i<=k，那麼在選第 k+1 號球之前，第 i 號球留在袋子中的概率是1。在選第 k+1 號球時，在什麼樣的情況下第 i 號球會被淘汰，只有決定將第 k+1 號球放進袋子，同時在袋子中的第 i 號球被隨機選中並決定扔掉，這兩個時間同時發生時第 i 號球纔會被淘汰。
   也就是說，第 i 號球會被淘汰的概率是 ( k / (k+1) ) × (1/k) = 1/(k+1)。所以第 i 號球留下來的概率爲 1 - 1/(k+1) = k/(k+1)。這是1到k+1號球中第 i 號球被留下來的概率。
2. 在選第 k+2 號球時，什麼時候第 i 號球會淘汰呢，只有把 k+2 號球放進袋子，同時在袋子中的第 i 號球被隨機選中並決定扔掉，兩件事同時發生時第 i 號球才能被淘汰。
   所以，第 i 號球會被淘汰的概率是 ( k / (k+2) ) × (1/k) = 1/(k+2)。所以第 i 號球留下來的概率爲 1 - 1/(k+2) = (k+1)/(k+2)。那麼，從1到k+2號球中第 i 號球被留下來的概率爲：k/(k+1) × (k+1)/(k+2)。
3. 以此類推，在選第 N 號球時，第 i 號球最終留在袋子裏的概率爲：
   k/(k+1) × (k+1)/(k+2) × (k+2)/(k+3) × (k+3)/(k+4) × … × (N-1)/N = k/N
4. 同樣推理，假設第 i 號球被選中並且 k<i<=N，那麼在選第 i 號球之前，第 i 號球進入袋子中的概率是 k/i。在選第 i+1 號球時，在什麼樣的情況下第 i 號球會被淘汰，只有決定將第 i+1 號球放進袋子，同時在袋子中的第 i 號球被隨機選中並決定扔掉，這兩個時間同時發生時第 i 號球纔會被淘汰。
   那麼，第 i 號球會被淘汰的概率是 ( k / (i+1) ) × (1/k) = 1/(i+1)。所以第 i 號球留下來的概率爲 1 - 1/(i+1) = i/(i+1)。所以，從第 i 號球被選中到第 i+1 號球的過程中，第 i 號球留在袋中的概率是 k/i × i/(i+1)。
   所以，在選第 N 號球時，第 i 號球最終留在袋子裏的概率爲：
   k/i × i/(i+1) × (i+1)/(i+2) × … × (N-1)/N = k/N