題目
設有一個數列的輸入順序爲123456，若採用棧結構，並以A和D分別表示入棧和出棧操作，試問通過進棧和出棧操作的合法序列有多少種？
解題
三種辦法，結果是132種序列。
1. 列舉法
不是直接一個個去列，而是找技巧。先列數列元素個數爲1的，再是2的，最後一直到6個，可以找到一定的規律得出結果。
2. 代碼
畢竟作爲一名軟件工程的學生，用老師的話說，“你們寫代碼的能力是要求比計算機科學的同學強的，寫代碼對於你們應該像喝水吃飯一樣簡單，這是最基礎的！”。於是我在列舉法之後考慮是否能用代碼解決這個問題。事實證明是可以的，我的想法如下：
入棧、出棧順序（A,D的排列）有兩個要求：
1. 共有12個位置，A、D各六個；
2. 任取前n個（n<=12），A的數量應該大於等於D的數量（入了才能出啊，入的不能少於出的），且n=12時，num(A)=num(D)=6
只用遍歷每一種可能即可。那麼應該如何遍歷？使得容易檢測這兩個條件，且使得時間複雜度較小（12個for循環就算了）
我的想法是利用二進制數遍歷。即遍歷0~
// main.cpp
// gcc編譯通過
#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
// 10的11次方已經超過int範圍
// 十進制轉換爲二進制，用的遞歸
long long transform(int num)
{
if(!num) return 0;
return num % 2 + 10 * transform(num / 2);
}
// 計算10的次方，目的是取數字的每一位
// C++自帶的pow以及pow10返回double，不符合要求，只好自己寫
long long pow10(int b)
{
long long sum = 1;
for (int i = 0; i < b; i++)
{
sum *= 10;
}
return sum;
}
int main()
{
int sum = 0;
int count = 0;
long long num2 = 0;
int tmp = 0;
bool flag = false;
// 遍歷可能性
for (int a = 4095; a >= 1; a -= 1)
{
sum = 0;
flag = true;
num2 = transform(a);
for (int b = 11; b >= 0; b--)
{
// 取每一位
tmp = (num2 / pow10(b)) % 10;
if (tmp == 0) sum += -1;
else if (tmp == 1) sum += 1;
if (sum < 0)
{
flag = false;
break;
}
}
if (flag && !sum)
{
count++;
}
}
cout << count <<endl;
getchar();
return 0;
}
3. 公式法
我認爲這個題目上面兩種辦法還是需要懂一點腦筋的，於是問其他幾個同學他們是怎麼做的，結果被告知他們都是直接上網查這個題目，發現有公式，就直接拿過來解題了（(⊙o⊙)…，機智啊）。
這個棧的出棧序列是卡特蘭數的一個運用。
“
首次出空之前第一個出棧的序數k將1~n的序列分成兩個序列，其中一個是1~k-1，序列個數爲k-1，另外一個是k+1~n，序列個數是n-k。
此時，我們若把k視爲確定一個序數，那麼根據乘法原理，f（n）的問題就等價於——序列個數爲k-1的出棧序列種數乘以序列個數爲n - k的出棧序列種數，即選擇k這個序數的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k可以選1到n，所以再根據加法原理，將k取不同值的序列種數相加，得到的總序列種數爲：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。
”
卡特蘭數的公式是：
其中n爲元素個數