結論（一元函數範疇內）
可導與連續的關係：可導必連續，連續不一定可導；
可微與連續的關係：可微與可導是一樣的；
可積與連續的關係：可積不一定連續，連續必定可積；
可導與可積的關係：可導一般可積，可積推不出一定可導；
這個就不多說了。。。
下面是多元函數的關係
先上圖
很顯然函數連續，可導，可微和偏導數連續的關係可以從圖中看出
函數連續不一定的函數可微（例子：y=|x|)
函數連續不一定函數可導 （例子：y=|x|當x=0時 y不可導）
函數可導不一定連續
可導指的是偏導數存在,即沿x軸,y軸方向的導數存在（注意只有兩個方向）,但是二元函數的連續性是從各個方向,以任何形式來取極限的,所以從這個方面來講,多元函數可導不一定能保證其連續,如果是可微就可以推出連續,因爲可微就考察了所有方向.
函數可導不一定可微 這個記住就好
詳細可以看：https://blog.csdn.net/weixin_40054912/article/details/79501962
函數可微不一定偏導數連續
（例： 
首先,
Df(0,0)/Dx = lim(x→0) [f(x,0) - f(0,0)]/x = lim(x→0) xsin(1/x^2) = 0,
Df(0,0)/Dy = lim(y→0) [f(x,0) - f(0,0)]/y = lim(y→0) ysin(1/y^2) = 0,
其次,記 ρ = √(x^2 + y^2),則
{f(x,y) - f(0,0) - [Df(0,0)/Dx]Δx - [Df(0,0)/Dy]Δy}/ρ
= ρsin(1/ρ^2) →0 (ρ → 0),
根據全微分的定義,得知函數 f 在 (0,0) 可微.但 Df(x,y)/Dx 和 Df(x,y)/Dy 在 (0,0) 不連續
原文：https://blog.csdn.net/tantiao666/article/details/80949734