理解紅黑樹之JDK源碼應用

一、紅黑樹的介紹

算法導論對紅黑樹的介紹：

紅黑樹，一種二叉查找樹，但在每個結點上增加一個存儲位表示結點的顏色，可以是Red或Black。
通過對任何一條從根到葉子的路徑上各個結點着色方式的限制，紅黑樹確保沒有一條路徑會比其他路徑長出倆倍，因而是接近平衡的

二、紅黑樹的性質

1. 每個結點要麼是紅的，要麼是黑的。
2. 根結點是黑的
3. 定義NULL爲黑色
4. 如果某個子結點是紅色的，那麼它的兩個兒子都是黑色的，且父結點也必定是黑色的。
5. 對於任一個結點而言，它到葉結點的每一條路徑都包含相同數目的黑色結點，稱爲黑高（BlackHight、BH）。

    正是紅黑樹的這5條性質，使一棵n個結點的紅黑樹始終保持了logn的高度。N個結點的RBT,最大高度是2log(N+1)

    若H(left)>=H(right),則H(left)<=2*H(right)+1 但 BH(right) == BH(left)。

三、紅黑樹的旋轉和變色。

    當對紅黑樹進行刪除和插入操作時，就會對樹的結構造成修改，從而會破壞紅黑樹的性質，所以當我們對紅黑樹進行刪除或者插入操作時需要，調整樹的結構使紅黑樹的性質不被破壞，可以通過對結點進行重新着色，以及對樹進行相關的旋轉操作，即通過修改樹中某些結點的顏色及指針結構。

   1、旋轉：

     

算法導論的代碼：

LeftRoate(T, x)
y ← x.right				       //定義y：y是x的右孩子
x.right ← y.left	            //y的左孩子成爲x的右孩子
if y.left ≠ T.nil
    y.left.p ← x	
y.p ← x.p				       //x的父結點成爲y的父結點
if x.p = T.nil
	then T.root ← y
else if x = x.p.left
	then x.p.left ← y
else x.p.right ← y 
y.left ← x                       //x作爲y的左孩子
x.p ← y

四、紅黑樹的插入

      插入原則：若插入的結點爲黑色，則肯定違反性質5，則只能插入紅色結點，可能違反性質4，繼續調整。

     紅黑樹的插入調整：

• 考慮到左子樹的情況，規定如下標記

1. 正在處理的結點X,也叫子結點
2. 父結點P
3. 爺爺結點G
4. 叔叔結點Y
5. A3表示黑高爲3的紅黑樹

•   無需調整的情況爲：

1. X爲根結點，將X由紅染黑，簡稱rootOver
2. 父節點P爲黑色，BlackParentOver,簡稱bpOver

•    僅僅需要考慮父節點P爲紅色的情形，由於性質4，爺爺結點G必定是黑色，分爲三種情況：
  • case1:Y爲紅色，X可左可右；P、Y染黑，G染紅，X回溯至G
  • case2:Y爲黑色，X爲右孩子；左旋P，X指向P，轉化爲case3
  • case3:Y爲黑色，X爲左孩子；P染黑，G染紅，右旋G，結束
• 結論：RBT的插入調整最多旋轉2次。
• 先看一下無需調整的JDK源碼：
  • 越界，X是根節點，父節點P的顏色爲黑，必定滿足性質4

             最後一步：將根節點root染黑

• case1的源碼
  • 條件：P爲G的左孩子，Y爲紅色，X可左可右
  • 處理方式：P、Y染黑，G染紅，X回溯之G
• case2的源碼
  • 條件：P爲G的左孩子，Y爲黑色，X爲右孩子
  • 處理方式：右旋P，X指向P，轉化爲case3
• case3的源碼
  • 條件：P爲G的左孩子，Y爲黑色，X爲左孩子
  • 處理方式：P染黑，G染紅，左旋G，結束

 

五、紅黑樹的刪除

      刪除原則：刪除紅色結點，不會影響BH,也不會違反性質4，無需調整

     刪除黑色結點，結點所在子樹的BH--,需要調整

• 考慮到刪除左子樹的情況，規定如下標記：
  1. 正在處理的結點X
  2. 父結點P
  3. 兄弟結點sib,簡稱S
  4. 左侄leftNephew,簡稱LN
  5. 右侄rightNephew，簡稱RN

• 紅黑樹的刪除調整
  • 需要刪除的結點X爲紅色，直接刪除X
  • 其他無需調整的情況爲：
    1. 當前X爲根節點，無論root什麼顏色，都將root染黑，rootOver
    2. 當前X爲紅色，將X染黑，結束，redOve 
  • 刪除左孩子X，分爲四種情況：
    1. case1:S爲紅色；S染黑；P染紅，左旋P
    2. case2:S爲黑色；黑LN，黑RN；S染紅，X回溯到P
    3. case3:S爲黑色；紅LN，黑RN；LN染黑，S染紅，右旋S
    4. case4:黑S，LN隨意，紅RN；S變P的顏色，P和S染黑，左旋P
• 刪除的X本身就是紅色節點，直接刪除
• 無需調整2
  • 回溯指針時遇到的情況：
    1. X爲根節點，無論root什麼顏色，都將root染黑，將根節點染黑同時滿足2、4、5，簡稱rootOver
    2. X爲紅色，將X染黑，簡稱redOver
• case1源碼
  • 條件：S爲紅色
  • 由於性質4，P、LN、RN必定都爲黑色
  • 處理方式：S染黑，P染紅，左旋P，LN成爲新的sib
• case2源碼：
  • 條件：S、LN、RN均爲黑色，P爲紅色或者黑色
  • 處理方式：S染紅，X回溯至P
• case3源碼：
  • 條件：S爲黑色，LN爲紅色，RN爲黑色
  • 處理方式：LN染黑、S染紅、右旋S，S指向LN轉化爲case4
• case4源碼：
  • 條件：S爲黑色，P可紅可黑，RN爲黑色
    • 處理方式：S的顏色設置爲與P相同，P染黑，RN染黑，左旋P，X指向根節點，rootOver