挑战程序设计竞赛:高斯消元法

题目大意

求解线性方程组，比如:

的解。

解题思路

使用高斯消元法，步骤模拟如下。
(1) 合二为一: 将系数矩阵$A$与结果向量$b$合并得到$B$:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1& 2 \\ 1& -2& -1\\ 0 &1 &-2 \end{bmatrix} b = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix} B = \begin{bmatrix} 1 & 1& 2 & 1\\ 1& -2& -1&0\\ 0 &1 &-2 &-2 \end{bmatrix}$
(2) 以如下策略消元, (假设有$n$个变元):

• 当消去第$i$个元时，选取大于等于$i$行中第$i$个变元系数绝对值最大的一行作为基准。如果最大绝对值为0，则无解或有无穷解.
• 将第$i$行与基准行交换。
• 将第$i$行归一化。
• 使用归一化后的第$i$行按比例关系消去其他行的第$i$个变元的系数。
• $i$加一，重复上述过程直到全部变元消去。

(3)模拟如下:

代码

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

typedef vector<double> vec;
typedef vector<vec> mat;

double abs(double x)
{
    if(x < 0)
        return -x;
    return x;
}
vec gauss_jordan(const mat &A, const vec &b)
{
    int n = A.size();
    mat B(n, vec(n+1));

    // (1) -----------合并-------------
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=0; j<n; j++)
            B[i][j] = A[i][j];
    for(int i=0; i<n; i++)
        B[i][n] = b[i];

    // --------------------------------

    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        int base_index = i;
        // 前i行已经固定，因此从j>=i行中选
        for(int j=i+1; j<n; j++)
            if(abs(B[j][i]) > abs(B[base_index][i]))
                base_index = j;

        // 无解或无穷解
        if(abs(B[base_index][i]) < 10e-4) return vec();
        swap(B[i], B[base_index]);

        // -----------规范化-------------
        int tmp = B[i][i]; 
        for(int j=i; j<n+1; j++)
            B[i][j] /= tmp;
		//----------------------------------

        // 消去其他行
        for(int j=0; j<n; j++)
        {
            if(j!=i)
            {
                int tmp = B[j][i];
                for(int k=i; k<n+1; k++)
                    B[j][k] -= tmp * B[i][k];
            }
        }
    }
    vec x(n);
    for(int i=0; i<n; i++)
        x[i] = B[i][n];
    return x;
}
int main()
{
    mat A(3, vec(3));
    vec b(3);
    for(int i=0; i<3; i++)
        for(int j=0; j<3; j++)
            cin >> A[i][j];
    for(int i=0; i<3; i++)
        cin >> b[i];
    vec x(3);
    x = gauss_jordan(A, b);
    for(int i=0; i<3; i++)
        cout << x[i] << endl;
    return 0;
}