《劍指offer》Java學習錄：面試題9:斐波那契數列

面試題 9：斐波那契數列

題目：

寫一個函數，輸入n，求斐波那契（Fibonacci）數列的第n項。斐波那契數列的定義如下：
$f(n)= \begin{cases} 0, & \text{$n = 0$}\\ 1, & \text{$n = 1$}\\ f(n - 1) + f(n - 2),& \text{$n > 1$} \end{cases}$

分析

首先想到的是利用遞歸來解，如：

public static int fibonacci(int n) {
    if (n <=0 ) {
        return 0;
    } else if (n == 1) {
        return 1;
    } else {
        return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
    }
}

該解法確實簡單，很快就可以實現。讓我們來分析一下：

我們以求解$f(10)$爲例分析求解過程。想要求$f(10)$就的求$f(9)$和$f(8)$，想要求$f(9)$需要先求$f(8)$和$f(7)$，同樣想要求$f(8)$，又得先求$f(7)$和$f(6)$ … 我們可以以樹結構表達這種依賴關係。

不難發現，書中有很多節點重複，這意味着計算量會隨着n的增大而急劇增大，事實上，用遞歸計算的時間複雜度是以n的指數遞增的。我試了一下，當n爲45時，就能很明顯的發現獲得結果需要等待一小會兒了。

改進

上面遞歸代碼之所以慢是因爲重複計算過多，當我們的遞歸從小往大計算時，第n次的結果總是前兩次之後，而前兩次剛好再前面兩次已經計算過並記錄了。

public static void main(String args[]) {
    System.out.println(fibonacci1(1000));
}

public static int fibonacci1(int n) {
    int[] result = {0, 1};
    if (n < 2) {
        return result[n];
    }
    int preNumberOne = 1;
    int preNumberTwo = 0;
    int number = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        number = preNumberOne + preNumberTwo;
        preNumberTwo = preNumberOne;
        preNumberOne = number;
    }
    return number;
}

斐波那契數列的運用：青蛙跳臺階

題目

一隻青蛙可以跳上1級臺階，也可以跳上2級臺階。求該青蛙跳上一個n級臺階總共有多少種跳法。

分析

首先考慮最簡單的情況，如果只有一級臺階，青蛙第一次跳的時候，顯然只有一種跳法。如果有2級，有兩種跳法：一種是跳一級、一種是跳兩級。

再看一般情況，假如青蛙跳n級臺階總共有$F{(n)}$ 種跳法，當n > 2 時，第一次有兩種不同的選擇：1. 只跳1級，此時跳法數據等於後面剩下的n - 1級臺階的跳法數目，即 $ F(n - 1)$。2. 只跳2級，此時跳法數目等於後面剩下的n - 2級臺階的跳法數目，即$ F(n - 2)$ 。因此n級臺階的不同跳法總數爲$F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)$。不難看出，這就是一個斐波那契數列。

斐波那契數列的運用：矩形覆蓋

題目

我們可以用2 x 1的小矩形橫着或者豎着去覆蓋更大的矩形。請問用8個 2 x 1的小矩形無重疊地覆蓋一個 2 x 8的大巨星，總共有多少種方法？矩形如圖：

分析

先把2 x 8的覆蓋方法次數記爲$F(8)$ ， 用1x2的矩形第一次覆蓋到2x8上有兩種方式：

1. 豎着蓋在最左邊，此時的覆蓋次數有$F(7)$。
2. 橫着覆蓋最左上角， 此時覆蓋次數記爲$F(6)$。
3. 所以，對於2x8的矩形區域，$F(8) = F(7) + F(6)$

顯然，又是一個斐波那契數列。

結語

斐波那契數列相關題目特徵：

1. 每個步驟有兩種不同的操作。
2. 有0和1兩個解。
3. 經過兩個不同操作後，問題規模將會得到不同程度的降低。