深入理解 Dijkstra 算法實現原理

迪傑斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路徑算法，用於計算一個節點到其他節點的最短路徑。
它的主要特點是以起始點爲中心向外層層擴展(廣度優先搜索思想)，直到擴展到終點爲止。

（嗯，第一段是抄的，由於本人算法的基礎比較薄弱，我會盡量用通俗易懂的語言來讓大家理解本文）

參考博客:數據結構--Dijkstra算法最清楚的講解

大概就是這樣一個有權圖，Dijkstra算法可以計算任意節點到其他節點的最短路徑

算法思路

1. 指定一個節點，例如我們要計算 'A' 到其他節點的最短路徑
2. 引入兩個集合（S、U），S集合包含已求出的最短路徑的點（以及相應的最短長度），U集合包含未求出最短路徑的點（以及A到該點的路徑，注意 如上圖所示，A->C由於沒有直接相連 初始時爲∞）
3. 初始化兩個集合，S集合初始時 只有當前要計算的節點，A->A = 0，
   U集合初始時爲 A->B = 4, A->C = ∞, A->D = 2, A->E = ∞，敲黑板！！！接下來要進行核心兩步驟了
4. 從U集合中找出路徑最短的點，加入S集合，例如 A->D = 2
5. 更新U集合路徑，if ( 'D 到 B,C,E 的距離' + 'AD 距離' < 'A 到 B,C,E 的距離' ) 則更新U
6. 循環執行 4、5 兩步驟，直至遍歷結束，得到A 到其他節點的最短路徑

算法圖解

1.選定A節點並初始化，如上述步驟3所示

2.執行上述 4、5兩步驟，找出U集合中路徑最短的節點D 加入S集合，並根據條件 if ( 'D 到 B,C,E 的距離' + 'AD 距離' < 'A 到 B,C,E 的距離' ) 來更新U集合

3.這時候 A->B, A->C 都爲3，沒關係。其實這時候他倆都是最短距離，如果從算法邏輯來講的話，會先取到B點。而這個時候 if 條件變成了 if ( 'B 到 C,E 的距離' + 'AB 距離' < 'A 到 C,E 的距離' ) ，如圖所示這時候A->B距離 其實爲 A->D->B

4. 思路就是這樣，往後就是大同小異了

5. 算法結束

代碼實現

public class Dijkstra {
    public static final int M = 10000; // 代表正無窮
    
    public static void main(String[] args) {
        // 二維數組每一行分別是 A、B、C、D、E 各點到其餘點的距離, 
        // A -> A 距離爲0, 常量M 爲正無窮
        int[][] weight1 = {
                {0,4,M,2,M}, 
                {4,0,4,1,M}, 
                {M,4,0,1,3}, 
                {2,1,1,0,7},   
                {M,M,3,7,0} 
            };

        int start = 0;
        
        int[] shortPath = dijkstra(weight1, start);

        for (int i = 0; i < shortPath.length; i++)
            System.out.println("從" + start + "出發到" + i + "的最短距離爲：" + shortPath[i]);
    }

    public static int[] dijkstra(int[][] weight, int start) {
        // 接受一個有向圖的權重矩陣，和一個起點編號start（從0編號，頂點存在數組中）
        // 返回一個int[] 數組，表示從start到它的最短路徑長度
        int n = weight.length; // 頂點個數
        int[] shortPath = new int[n]; // 保存start到其他各點的最短路徑
        String[] path = new String[n]; // 保存start到其他各點最短路徑的字符串表示
        for (int i = 0; i < n; i++)
            path[i] = new String(start + "-->" + i);
        int[] visited = new int[n]; // 標記當前該頂點的最短路徑是否已經求出,1表示已求出

        // 初始化，第一個頂點已經求出
        shortPath[start] = 0;
        visited[start] = 1;

        for (int count = 1; count < n; count++) { // 要加入n-1個頂點
            int k = -1; // 選出一個距離初始頂點start最近的未標記頂點
            int dmin = Integer.MAX_VALUE;
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if (visited[i] == 0 && weight[start][i] < dmin) {
                    dmin = weight[start][i];
                    k = i;
                }
            }

            // 將新選出的頂點標記爲已求出最短路徑，且到start的最短路徑就是dmin
            shortPath[k] = dmin;
            visited[k] = 1;

            // 以k爲中間點，修正從start到未訪問各點的距離
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                //如果 '起始點到當前點距離' + '當前點到某點距離' < '起始點到某點距離', 則更新
                if (visited[i] == 0 && weight[start][k] + weight[k][i] < weight[start][i]) {
                    weight[start][i] = weight[start][k] + weight[k][i];
                    path[i] = path[k] + "-->" + i;
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            
            System.out.println("從" + start + "出發到" + i + "的最短路徑爲：" + path[i]);
        }
        System.out.println("=====================================");
        return shortPath;
    }
    
}