約瑟夫閉環問題 這可能是見過最優雅的解題方法了

question:
“約瑟夫環”是一個數學的應用問題：一羣猴子排成一圈，按1,2,…,n依次編號。然後從第1只開始數，數到第m只,把它踢出圈，從它後面再開始數， 再數到第m只，在把它踢出去…，如此不停的進行下去， 直到最後只剩下一隻猴子爲止，那隻猴子就叫做大王。要求編程模擬此過程，輸入m、n, 輸出最後那個大王的編號。

方法一：遞歸

function killMonkey($monkeys , $m , $current = 0){
       $number = count($monkeys);
     $num = 1;
     if(count($monkeys) == 1){
              echo $monkeys[0]."成爲猴王了";
         return;
     }
     else{
              while($num++ < $m){
                      $current++ ;
             $current = $current%$number;
         }
         echo $monkeys[$current]."的猴子被踢掉了<br/>";
         array_splice($monkeys , $current , 1);
         killMonkey($monkeys , $m , $current);
     }
 }

方法二：線性表思路

思路：每個猴子出列後，剩下的猴子又組成了另一個子問題。只是他們的編號變化了。第一個出列的猴子肯定是a[1]=m(mod)n(m/n的餘數)，他除去後剩下的猴子是a[1]+1,a[1]+2,…,n,1,2,…a[1]-2,a[1]-1，對應的新編號是1,2,3…n-1。設此時某個猴子的新編號是i，他原來的編號就是(i+a[1])%n。於是，這便形成了一個遞歸問題。假如知道了這個子問題(n-1個猴子)的解是x，那麼原問題(n個猴子)的解便是：(x+m%n)%n=(x+m)%n。問題的起始條件：如果n=1,那麼結果就是1

function yuesefu(int $n, int $m):int
{
$r = 0; for($i = 2; $i <= $n; $i++){
$r = ($r + $m) % $i;
}
return $r + 1;
}