1. 二叉排序樹
二叉排序樹（Binary Sort Tree），又稱二叉查找樹（Binary Search Tree），亦稱二叉搜索樹。
- 二叉排序樹定義：
二叉排序樹或者是一棵空樹，或者是具有下列性質的二叉樹：
- 若左子樹不空，則左子樹上所有節點的值均小於它的根節點的值；
- 若右子樹不空，則右子樹上所有節點的值均大於它的根節點的值；
- 左、右子樹也分別爲二叉排序樹。
如圖下圖所示就是一棵二叉排序樹：
對二叉排序樹進行中序遍歷，便可得到一個按關鍵字排序的序列，如對上圖進行一次中序遍歷可得到一個有序序列：10，42，45，55，58，63，67，70，83，90，98
- 二叉排序樹的查找分析
就查找的平均時間性能而言，二叉排序樹上的查找與折半查找類似，但就維護表的有序性而言，二叉排序樹更高效，因爲它無需移動節點，只需修改指針即可完成二叉排序樹的插入和刪除操作。
二叉排序樹查找在在最壞的情況下，需要的查找時間取決於樹的深度：
- 當二叉排序樹接近於滿二叉樹時，其深度爲 ,因此最壞情況下的查找時間爲O()，與折半查找是同數量級的。
- 當二叉樹如下圖所示形成單枝樹時，其深度爲n，最壞情況下查找時間爲O(n)，與順序查找屬於同一數量級。
![在這裏插入圖片描述]()
所以爲了保證二叉排序樹查找有較高的查找速度，希望該二叉樹接近於滿二叉樹，或者二叉樹的每一個節點的左、右子樹深度儘量相等
2. 平衡二叉樹
通過上面的分析可知，二叉排序樹的查找效率與二叉樹的形態有關，我們希望二叉排序樹的形態是均勻的，這樣的二叉樹稱爲平衡二叉樹。
- 平衡二叉樹定義
平衡二叉樹（Balanced Binary Tree），它是一棵空樹，或者是具有以下性質：
- 它的左右兩個子樹的深度差的絕對值不超過1；
- 它的左右兩個子樹也分別是平衡二叉樹。
將二叉樹節點的左子樹的深度減去它的右子樹的深度稱爲平衡因子BF，則平衡二叉樹上所有節點的平衡因子只可能是-1、0和1，如下圖左邊的爲平衡二叉樹，右邊的爲非平衡二叉樹。
因爲平衡二叉樹上任何節點的左、右子樹的深度之差都不會超過1，可以證明它的深度和n個節點的完全二叉樹的深度+1是同數量級的。因此，它的平均查找次數也是和+1同數量級的。
要構造一棵平衡二叉樹，Georgii M. Adelson-Velskii 和 Evgenii M. Landis 提出了一種動態保持二叉平衡樹的方法，其基本思想是：在構造二叉排序樹的時候，每當插入一個節點時，先檢查是否因插入節點而破壞了樹的平衡性，如果是，則找出其中最小不平衡子樹，在保持排序樹的前提下，調整最小不平衡子樹中各節點之間的連接關係，以達到新的平衡，所以這樣的平衡二叉樹簡稱AVL樹。其中最小平衡子樹是指：離插入節點最近，且平衡因子絕對值大於1的節點作爲根節點的子樹。
- 調整最小不平衡子樹一般有四種情況：
- 單向右旋(LL型)： 插入位置爲左子樹的左子樹，以左子樹爲軸心，進行單次向右旋轉，如下圖所示。節點旁邊的數字爲該節點的平衡因子，I節點爲當前插入節點(如果I節點處於正中，則表示I節點既可以是左孩子也可以是右孩子。
注意LL型，以中間節點爲軸心進行旋轉。爲什麼這裏I爲BL左孩子不能將B-BL-I作爲LL型，是因爲A節點纔是離I節點最近的平衡因子絕對值>1的子樹，其餘節點的平衡因子絕對值都沒有超過1；同理當I爲BL右孩子，也不能將B-BL-I作爲LR型。
2. 單向左旋(RR型)： 插入位置爲右子樹的右子樹，右子樹爲軸心，進行單次向左旋轉
注意RR型，以中間節點爲軸心進行旋轉。這裏I爲左右子樹並不影響其實RR型，原理同上。
3. 雙向旋轉先左後右(LR型)：插入位置爲左子樹的右子樹，要進行兩次旋轉，先向左旋轉，再向右旋轉。
插入節點爲左孩子：注意爲什麼不能B-C-I作爲子樹將其定爲RL型，原理同RR型中的解釋，對於LR型，，是以R端或者L靠近插入節點端作爲旋轉軸心（如下圖相當於先旋轉以B爲根的子樹後，成爲了LL型，再旋轉以A爲根的子樹）。
插入節點爲右孩子：
4. 雙向旋轉先右後左(RL型)：插入位置爲右子樹的左子樹，進行兩次調整，先右旋轉再左旋轉；處理情況與LR類似。
插入節點爲左孩子：
插入節點爲右孩子：
經過上面的我們可以發現，平衡因子與類型有很大的關係，需要以離插入節點最近且平衡因子絕對值>1的節點作爲根節點的子樹進行判定是哪種類型。
- 練習
如下圖所示，先插入節點2後，成爲LL型，然後整體右旋處理後平衡。
再依次插入8和6之後，節點5的平衡因子絕對值>1，成爲RL型，所以先以5爲根節點，將其子樹8-6右旋（成爲RR型），然後將5爲根節點的整棵樹再左旋。
繼續插入節點9後，節點4的平衡因子>1，成爲RR型，所以以4爲根節點，將整體左旋。
