學習了一下1個$\log$的二次剩餘。然後來水一篇博客。
當$p$爲奇素數的時候，並且$(n, p) \equiv 1 \pmod{p}$，用Cipolla算法求出$x^2 \equiv n \pmod{p}$的一組解。
尋找一個$a$，使得$a^2 - n$是一個二次非剩餘。
期望只用2次就能找到。
令$\omega \equiv \sqrt{a^2 - n} \pmod{p}$，顯然這個值不存在，我們強行擴域。
那麼$(a + \omega)^{(p + 1) / 2}$即爲一組解。
證明如下：
$$
\begin{align}
(a + \omega)^{p+1} & \equiv \sum_{i = 0}^{p + 1} \binom{p+1}{i}a^i\omega^{p + 1- i} \\
&\equiv a^{p + 1} + \omega^{p + 1} + (p + 1)(a\omega^p + \omega^p a) \\
&\equiv a^2 + (a^2 - n)^{(p+1)/2}+(p+1)\omega\left[a(a^2-n)^{(p-1)/2} + a\right] \\
&\equiv a^2 - a^2 + n \\
&\equiv n \pmod{p}
\end{align}
$$