BFPRT
bfprt算法是用来求数组中第k小的元素的算法，bfprt算法可以在O（n）时间内求出答案。
算法思想
对于求数组中第k小的元素的问题，我们已经有很好的常规算法了，这个算法在最好的情况下时间复杂度是O（n），但在最坏的情况下是O（n^2）的，其实bfprt算法就是在这个基础上改进的。
常规解法
我们随机在数组中选择一个数作为划分值（number），然后进行快排的partation过程（将小于number的数放到数组左边，等于number的数放到数组中间，大于number的数放到数组右边），然后判断k与等于number区域的相对关系，如果k正好在等于number区域，那么数组第k小的数就是number，如果k在等于number区域的左边，那么我们递归对左边再进行上述过程，如果k在等于number区域的右边，那我们递归对右边再进行上述过程。
对于常规解法，我们分析一下它的时间复杂度：
递归函数复杂度计算：
T(N)=a*T(N/b)+o(N^d);
当log(b,a)>d时 复杂度为O（N^log(b,a）);
当log(b,a)=d时 复杂度为O（N^d*log(2,N));
当log(b,a)<d时 复杂度为O（N^d);
N为样本数据个数 即数组中元素的个数。
N/b为将这N个数划分为更小的部分，每个部分的样本数据个数，一般为均分，那么b等于2。
a为划分为多个部分后，小部分执行的次数。
d为递归函数调用完成后剩下的操作的时间复杂度。
对于最好的情况：每次所选的number正好在数组的正中间，那么上式中a等于1，b等于2，对于partation过程，时间复杂度是O（n），所以d等于1。所以T（N）= T（N/2）+ O（N），此时 log( 2 , 1 ) < 1，故时间复杂度为O（N）。
对于最坏情况：每次所选的number正好在数组最边上，那么时间复杂度为O（N ^ 2）.
bfprt算法就是在这个number上做文章，bfprt算法能够保证每次所选的number在数组的中间位置，那么时间复杂度就是O（N）。
bfprt解法：
bfprt解法和常规解法唯一不同的就是在number的选取上，其他地方一模一样，所以我们只讲选取number这一过程。
第一步：我们将数组每5个相邻的数分成一组，后面的数如果不够5个数也分成一组。
第二步：对于每组数，我们找出这5个数的中位数，将所有组的中位数构成一个median数组（中位数数组）。
第三步：我们再求这个中位数数组中的中位数，此时所求出的中位数就是那个number。
第四步：通过这个number进行partation过程，下面和常规解法就一样了。
接下来我们分析一下为什么bfprt算法每次选number的时候都能够在数组的中间位置。
我们假设这就是分出来的每5个数的小组，每一列代表一个小组。
图中红框内的数我们假设就是每一组的中位数。我们假设总数组的数字个数是N，那么中位数数组中数字的个数就是 N / 5 。
我们假设用蓝框框起来的数是中位数数组的中位数（divide），那么由中位数的性质可知，中位数数组中有一半的数比这个divide大，所以总共有 N / 10个数比这个divide大。
用紫色框框出的数肯定也是比divide大，所以至少有N / 10 + ( 2*N ) / 10 = ( 3*N ) / 10 个数比divide大，那么以divide为划分的partation过程能够使得divide在数组的靠近中间的位置，最坏情况也能够在数组的 ( 3*N ) / 10 或者 ( 7*N ) / 10 的位置。时间复杂度为O（N）。本文转自https://blog.csdn.net/qq_40938077/article/details/81213820#commentsedit
代码如下：见BFPRT算法GITHUB
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[2];
int bfprt(int root[],int begin,int end,int k);//这是核心函数，表示在root数组的begin位置到end位置上找出第k小的元素
int getmedian(int root[],int beginI,int endI)//这个函数求的是在root数组中beginI位置到endI位置上的中位数（其实就是求由每5个数所分成的小组的小组内的中位数）
{
sort(root+beginI,root+endI+1);
int sum=beginI+endI;
int mid=(sum/2)+(sum%2);//这个地方加上sum%2是为了确保偶数个数时我们求的是中间两个数的后一个
return root[mid];
}
int medianOfMedians(int root[],int star,int finish)//这个函数是将root数组star位置到finish位置分成每5个数一个小组，并求出每个小组内的中位数
{
int num=finish-star+1;//求出长度
int offset=num%5==0?0:1;//最后如果剩余的数不足5个，我们也将其分成一个小组，和前面同等对待
int range=num/5+offset;
int median[range];//这个数组存的是每个小组内的中位数
for(int i=0;i<range;i++)//依次往median数组中填数
{
int beginI=star+i*5;//第i组数对应root数组上的位置
int endI=beginI+4;
median[i]=getmedian(root,beginI,min(endI,finish));
}
return bfprt(median,0,range-1,range/2);//求出生成好的median数组的中位数，作为partation函数的划分值
}
void swap(int root[],int a,int b)
{
int temp=root[a];
root[a]=root[b];
root[b]=temp;
}
void partation(int root[],int beginJ,int endJ,int number)//partation函数求的是等于number的范围
{
int less=beginJ-1;
int more=endJ+1;
int cur=beginJ;
while (cur<more)
{
if(root[cur]<number)
{
less++;
swap(root,cur,less);
cur++;
}
else if(root[cur]==number)
cur++;
else
{
more--;
swap(root,cur,more);
}
}
a[0]=less+1;
a[1]=more-1;
}
int bfprt(int root[],int begin,int end,int k)
{
if(begin==end)//数组中只有一个数时，直接返回
return root[begin];
int divide=medianOfMedians(root,begin,end);//求出以哪个数作为划分值
partation(root,begin,end,divide);//注意，进行完partation过程后，root数组已经不是无序的了
if(k>=a[0]&&k<=a[1])//如果需要求的数正好在等于区域，直接返回root[k]
return root[k];
else if(k<a[0])//此时我们要找的数比divide小，递归求前半部分
return bfprt(root,begin,a[0]-1,k);
else if(k>a[1])//此时我们要找的数比divide大，递归求后半部分
return bfprt(root,a[1]+1,end,k);
}
int main()
{
int n,k;
int root[100000];
while (cin>>n)
{
cin>>k;
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>root[i];
cout<<bfprt(root,0,n-1,k-1)<<endl;
memset(root,0,sizeof(root));
memset(a,0,sizeof(a));
}
}