【Python圖像處理】圖像的傅里葉變換

圖像傅里葉變換的物理意義：

圖像的頻率是表徵圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區域，對應的頻率值很低；而對於地表屬性變換劇烈的邊緣區域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區域，對應的頻率值較高。傅里葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設f是一個能量有限的模擬信號，則其傅里葉變換就表示f的頻譜。從純粹的數學意義上看，傅里葉變換是將一個函數轉換爲一系列周期函數來處理的。從物理效果看，傅里葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅里葉變換的物理意義是將圖像的灰度分佈函數變換爲圖像的頻率分佈函數。

傅里葉逆變換是將圖像的頻率分佈函數變換爲灰度分佈函數傅里葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續空間（現實空間）上的採樣得到一系列點的集合，通常用一個二維矩陣表示空間上各點，記爲z=f(x,y)。又因空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關係就必須由梯度來表示，這樣我們才能通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應關係。

傅里葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，其意義是指圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小（可以這麼理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅里葉變換後的頻譜圖，也叫功率圖，我們就可以直觀地看出圖像的能量分佈：如果頻譜圖中暗的點數更多，那麼實際圖像是比較柔和的（因爲各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小）；反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那麼實際圖像一定是尖銳的、邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。

對頻譜移頻到原點以後，可以看出圖像的頻率分佈是以原點爲圓心，對稱分佈的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分佈以外，還有一個好處，它可以分離出有週期性規律的干擾信號，比如正弦干擾。一幅頻譜圖如果帶有正弦干擾，移頻到原點上就可以看出，除了中心以外還存在以另一點爲中心、對稱分佈的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產生的。這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。

摘自：【數字圖像處理】傅里葉變換在圖像處理中的應用

傅里葉變換之後，所用的二維傅里葉變換矩陣的原點設在左上角，那麼圖像信號能量將集中在係數矩陣的四個角上。所以需要對其進行平移

傅里葉變換的實現

Numpy實現

import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#讀取圖像
img = cv.imread('test.png', 0)

#快速傅里葉變換算法得到頻率分佈
f = np.fft.fft2(img)

#默認結果中心點位置是在左上角,
#調用fftshift()函數轉移到中間位置
fshift = np.fft.fftshift(f)       

#fft結果是複數, 其絕對值結果是振幅
fimg = np.log(np.abs(fshift))

#展示結果
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Fourier')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(fimg, 'gray'), plt.title('Fourier Fourier')
plt.axis('off')
plt.show()

傅里葉逆變換

import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

img = cv.imread('Lena.png', 0)

f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
res = np.log(np.abs(fshift))

ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
iimg = np.fft.ifft2(ishift)
iimg = np.abs(iimg)

plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(132), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('Fourier Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(133), plt.imshow(iimg, 'gray'), plt.title('Inverse Fourier Image')
plt.axis('off')
plt.show()

OpenCV實現

import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt

#讀取圖像
img = cv2.imread('Lena.png', 0)

#傅里葉變換
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)

#將頻譜低頻從左上角移動至中心位置
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)

#頻譜圖像雙通道複數轉換爲0-255區間
result = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0], dft_shift[:,:,1]))

#顯示圖像
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(result, cmap = 'gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

OpenCV傅里葉逆變換

import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt

#讀取圖像
img = cv2.imread('Lena.png', 0)

#傅里葉變換
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dftshift = np.fft.fftshift(dft)
res1= 20*np.log(cv2.magnitude(dftshift[:,:,0], dftshift[:,:,1]))

#傅里葉逆變換
ishift = np.fft.ifftshift(dftshift)
iimg = cv2.idft(ishift)
res2 = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1])

#顯示圖像
plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(132), plt.imshow(res1, 'gray'), plt.title('Fourier Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(133), plt.imshow(res2, 'gray'), plt.title('Inverse Fourier Image')
plt.axis('off')
plt.show()