線段樹合併，是一種聽起來很高大上的算法。
其意義是將兩棵線段樹合爲一棵，相同位置的信息合在一起。（通常爲權值線段樹）
實現不難，具體如下：
對於兩棵樹節點x,y
1. 如果x,y其中有一個爲空，返回另一個不爲空的數的值
2. 否則新建一個節點，將兩棵樹的節點信息合併，然後遞歸左右子樹繼續合併，直到步驟1
很簡單是吧？
看一下code：
int merge(int l,int r,int x,int y)
{
if (!x||!y) return x+y;
if (l==r)
{
tree[x]+=tree[y];return x;
}
int mid=(l+r)>>1;
lson[x]=merge(l,mid,lson[x],lson[y]);
rson[x]=merge(mid+1,r,rson[x],rson[y]);
tree[x]=max(tree[lson[x]],tree[rson[x]]);
return x;
}
一般來說，這樣是不會超時的。
明顯看出，其時間複雜度爲兩棵樹的重合部分大小。
但是，權值線段樹一般差異很大，因爲其權值會有很大不同。
一般情況下，時間複雜度爲O(能過）。
給兩道題目練一下手
洛谷4556 雨天的尾巴 樹上差分+線段樹合併
code
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int i,j,k,m,n,o,p,l,s,t,x,y,z,tot;
int f[400005][4],q[100005];
int tree[5000005],root[400005];
int b[100005][21],dep[100005],mi[21];
int ans[100005],lson[5000005],rson[5000005];
void insert(int x,int y)
{
f[++t][1]=y,f[t][2]=q[x],q[x]=t;
}
void dg(int t,int fa)
{
for (int k=q[t];k;k=f[k][2])
{
if (f[k][1]==fa) continue;
b[f[k][1]][0]=t,dep[f[k][1]]=dep[t]+1;
dg(f[k][1],t);
}
}
int getlca(int x,int y)
{
if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
int k=dep[x]-dep[y];
for (int i=20;i>=0;i--)
{
if (k>=mi[i]) k-=mi[i],x=b[x][i];
}
if (x==y) return x;
for (int i=20;i>=0;i--)
{
if (b[x][i]!=b[y][i]) x=b[x][i],y=b[y][i];
}
return b[x][0];
}
void maketree(int &x,int l,int r,int z,int add)
{
if (!x) x=++tot;
if (l==r)
{
tree[x]+=add;return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if (z<=mid) maketree(lson[x],l,mid,z,add);
else maketree(rson[x],mid+1,r,z,add);
tree[x]=max(tree[lson[x]],tree[rson[x]]);
}
int merge(int l,int r,int x,int y)
{
if (!x||!y) return x+y;
if (l==r)
{
tree[x]+=tree[y];return x;
}
int mid=(l+r)>>1;
lson[x]=merge(l,mid,lson[x],lson[y]);
rson[x]=merge(mid+1,r,rson[x],rson[y]);
tree[x]=max(tree[lson[x]],tree[rson[x]]);
return x;
}
int query(int x,int l,int r)
{
if (l==r) return l;
int mid=(l+r)>>1;
if (tree[x]==tree[lson[x]]) return query(lson[x],l,mid);
else return query(rson[x],mid+1,r);
}
void dfs(int t,int fa)
{
if (t==10)
{
int adf=0;
}
for (int k=q[t];k;k=f[k][2])
{
if (f[k][1]==fa) continue;
dfs(f[k][1],t);
root[t]=merge(1,100000,root[t],root[f[k][1]]);
}
if (!tree[root[t]]) ans[t]=0;
else ans[t]=query(root[t],1,100000);
}
int main()
{
freopen("Pique.in","r",stdin);
freopen("Pique.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
for (i=1;i<=n-1;i++) scanf("%d%d",&o,&p),insert(o,p),insert(p,o);
dg(1,0);mi[0]=1;
for (i=1;i<=20;i++)
{
mi[i]=mi[i-1]*2;
for (j=1;j<=n;j++) b[j][i]=b[b[j][i-1]][i-1];
}
for (i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
int lca=getlca(x,y);
maketree(root[x],1,100000,z,1);
maketree(root[y],1,100000,z,1);
maketree(root[lca],1,100000,z,-1);
maketree(root[b[lca][0]],1,100000,z,-1);
}
dfs(1,0);
for (i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}
另一道是JZOJ 3338 法法塔的獎勵，大意是求樹上的最長不下降子序列。
原題：
法法塔是很喜歡寫程序的。所以冒着就算碼農屌絲一輩子的風險也大無畏地寫着程序。
碼農們爲了表彰法法塔的堅持與執着，決定給法法塔頒佈獎勵，爲了體現碼農的屌絲氣質，獎勵也將由法法塔自己做出選擇！
所有的獎勵被組織成了一棵樹的形態，每個點都有一個權值。法法塔首先選擇一個子樹，然後選擇從該子樹內的一個葉子節點到該子樹的根的一條路徑，將路徑上節點的權值依次排成一個序列，求得這個序列的最長不下降子序列長度，這個長度就是他能得到的獎品數目。要求該子樹的根必須被選擇。
接下來就是法法塔進行選擇的時間了。儘可能多地得到獎品是自然的。那麼法法塔到底能夠得到多少獎品呢？這是個很糾結的問題，他決定交給你來解決。對於每個子樹，他都希望你能求出他首先選擇了這個子樹後，他能得到的最多的獎品數目。
Input
第一行一個數n，描述樹上節點的個數。
接下來一行n個數，描述樹上每個點的父親，點1爲根，其父親設爲-1，其餘每個點的父親的標號都小於自己。
接下來一行n個數，表示樹上每個點的權值。
Output
一行n個數，第i個數表示法法塔選擇了以第i個節點爲根的子樹後，他可以獲得的最多的獎品個數。
Sample Input
輸入1：
2
-1 1
1 1
輸入2：
6
-1 1 2 1 2 4
4 3 4 3 6 2
Sample Output
輸出1：
2 1
輸出2：
3 1 1 2 1 1
n<=100000，每個數的權值都是1到n的正整數。
代碼：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int tree[2000001];
int bz[100005];
int f[100005][3],q[100005],a[100005],ans[100005],left[2000001],right[2000001],root[100005];
int i,j,k,m,n,o,p,l,s,t,tot;
void insert(int x,int y)
{
f[++t][1]=y,f[t][2]=q[x],q[x]=t;
}
void change(int &x,int l,int r,int v,int z)
{
if (!x) x=++tot;
if (l==r) {
tree[x]=max(tree[x],z);return;
} else {
int mid=(l+r)>>1;
if (v<=mid) change(left[x],l,mid,v,z);
else change(right[x],mid+1,r,v,z);
tree[x]=max(tree[left[x]],tree[right[x]]);
}
}
int query(int x,int l,int r,int st,int en)
{
if (!x) return x;
if (l==st&&r==en) return tree[x];
else {
int mid=(l+r)/2;
if (en<=mid) return query(left[x],l,mid,st,en);
else if (st>mid) return query(right[x],mid+1,r,st,en);
else return max(query(left[x],l,mid,st,mid),query(right[x],mid+1,r,mid+1,en));
}
}
int merge(int a,int b,int l,int r)
{
if (!a||!b) return a+b;
if (l==r)
{
tree[a]=max(tree[a],tree[b]);
return a;
} else {
int mid=(l+r)/2;
left[a]=merge(left[a],left[b],l,mid);
right[a]=merge(right[a],right[b],mid+1,r);
tree[a]=max(tree[a],tree[b]);
return a;
}
}
void work(int t)
{
int g=0;
for (int k=q[t];k;k=f[k][2])
{
work(f[k][1]);
g=merge(g,root[f[k][1]],1,n);
}
ans[t]=query(g,1,n,1,a[t])+1;
change(g,1,n,a[t],ans[t]);
root[t]=g;
}
int main()
{
freopen("Henry.in","r",stdin);
freopen("Henry.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for (i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d",&o);
if (o!=-1)insert(o,i);
}
for (i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
work(1);
for (i=1;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i]);
return 0;
}