對三種頻域變換的理解

　這三種變換都非常重要！任何理工學科都不可避免需要這些變換。

　　這三種變換的本質是將信號從時域轉換爲頻域。傅里葉變換的出現顛覆了人類對世界的認知：世界不僅可以看作隨時間的變化，也可以看做各種頻率不同加權的組合。舉個不太恰當的例子：一首鋼琴曲的聲音波形是時域表達，而他的鋼琴譜則是頻域表達。

　　三種變換由於可以將微分方程或者差分方程轉化爲多項式方程，所以大大降低了微分（差分）方程的計算成本。

　　另外，在通信領域，沒有信號的頻域分析，將很難在時域理解一個信號。因爲通信領域中經常需要用頻率劃分信道，所以一個信號的頻域特性要比時域特性重要的多。

　　具體三種變換的分析（應該是四種）是這樣的：

　　傅里葉分析包含傅里葉級數與傅里葉變換。傅里葉級數用於對週期信號轉換，傅里葉變換用於對非週期信號轉換。

　　但是對於不收斂信號，傅里葉變換無能爲力，只能藉助拉普拉斯變換。（主要用於計算微分方程）

　　而z變換則可以算作離散的拉普拉斯變換。（主要用於計算差分方程）

爲什麼要變換？

　　一切的變換的意義，都是爲了能在數學上面表達一個波的形狀到底是什麼。一開始我們可以用一個衝激函數以時間的順序排成一排，再每個乘以各自的係數（線性組合），就能得到紙面上一個波的形狀。後來，偉大的傅里葉同學發現，不僅使衝激函數，用復指數信號疊加之後乘上各自的係數，也可以表達幾乎所有的波的波形。而且！用復指數信號表達的輸出計算方式比卷積有規律很多，而這個規律可以從頻域上面看出來。這個發現，使得信號的變換進步了一大步。

週期信號可以用傅里葉級數表示，非週期信號用傅里葉變換表示。這個再展開講就偏題了。奉上以前的傅里葉公式筆記一張（*^__^*）（來自知乎用戶牛咩咩）

　　拉普拉斯變換：傅里葉變換對信號的要求比較高，適應於本身衰減得快的信號。爲了擴大傅里葉變換的應用範圍，使其能用於更多不穩定系統的分析，人們在計算過程中人爲的添上一個負指數函數作爲係數，讓一些不衰減的信號更快衰減，方便換算。這就是拉布拉斯變換的由來。拉普拉斯變換用於連續信號。

　　拉布拉斯變換：

其中

把S帶回公式可得：

　跟傅里葉變換的公式對比起來看，是不是隻差了個係數？因爲變換要收斂纔有意義，所以收斂域討論的是讓積分之後有意義。這個稍微涉及了一點微積分的知識。最後的答案在直角座標系看，分界線平行於Y軸。

Z變換：和拉普拉斯變換的目的類似，把離散時間傅里葉變換公式的替換成爲z，再乘以一個加權係數表示z的模（通常等於1），就進化成了z變換。z變換用於離散信號。

　z變換：，其中帶進去就可以還原了。

　同樣，Z變換的收斂域是要讓算出的值有意義，通過等比公式展開之後可以看到，需要z小於或者大於某個值纔可以，用極座標來看，就是個圓域。

　　從複平面來說，傅里葉分析直注意虛數部分，拉普拉斯變換則關注全部複平面，而z變換則是將拉普拉斯的複平面投影到z平面，將虛軸變爲一個圓環。（不恰當的比方就是那種一幅畫只能通過在固定位置放一個金屬棒，從金屬棒反光才能看清這幅畫的人物那種感覺。）

怎麼理解？

　　我假定現在大家對這些變換已有一些瞭解，至少知道這些變換怎麼算。好了，接下來我將從幾個不同的角度來闡述這些變換。一個信號，通常用一個時間的函數來表示，這樣簡單直觀，因爲它的函數圖像可以看做信號的波形，比如聲波和水波等等。很多時候，對信號的處理是很特殊的，比如說線性電路會將輸入的正弦信號處理後，輸出仍然是正弦信號，只是幅度和相位有一個變化（實際上從數學上看是因爲指數函數是線性微分方程的特徵函數，就好像矩陣的特徵向量一樣，而這個復幅度對應特徵值）。因此，如果我們將信號全部分解成正弦信號的線性組合（傅里葉變換）那麼就可以用一個傳遞函數來描述這個線性系統。倘若這個信號很特殊，例如：，傅里葉變換在數學上不存在，這個時候就引入拉普拉斯變換來解決這個問題這樣一個線性系統都可以用一個傳遞函數

來表示。所以，從這裏可以看到將信號分解爲正弦函數（傅里葉變換）或者復指數函數（拉普拉斯變換）對分析線性系統至關重要。

　　如果只關心信號本身，不關心繫統，這幾個變換的關係可以通過這樣一個過程聯繫起來。　首先需要明確一個觀點，不管使用時域還是頻域（或s域）來表示一個信號，他們表示的都是同一個信號！關於這一點，你可以從線性空間的角度理解。同一個信號，如果採用不同的座標框架（或者說基向量），那麼他們的座標就不同。例如，採用作爲座標，那麼信號就可以表示爲，而採用則表示爲傅里葉變換的形式

。線性代數裏面講過，兩個不同座標框架下，同一個向量的座標可以通過一個線性變換聯繫起來，如果是有限維的空間，則可以表示爲一個矩陣，在這裏是無限維，這個線性變換就是傅里葉變換。

　　如果我們將拉普拉斯的域畫出來，他是一個複平面，拉普拉斯變換是這個複平面上的一個複變函數。而這個函數沿虛軸的值就是傅里葉變換。到現在，對信號的形式還沒有多少假定，如果信號是帶寬受限信號，也就是說只在一個小範圍內（如）不爲0。根據採樣定理，可以對時域採樣，只要採樣的頻率足夠高，就可以無失真地將信號還原出來。那麼採樣對信號的影響是什麼呢？從s平面來看，時域的採樣將沿虛軸方向作週期延拓！這個性質從數學上可以很容易驗證。

z變換可以看做拉普拉斯變換的一種特殊形式，即做了一個代換，T是採樣的週期。這個變換將信號從s域變換到z域。請記住前面說的那個觀點，s域和z域表示的是同一個信號，即採樣完了之後的信號。只有採樣纔會改變信號本身！從複平面上來看，這個變換將與 $\sigma$ 軸平行的條帶變換到z平面的一個單葉分支你會看到前面採樣導致的週期延拓產生的條帶重疊在一起了，因爲具有週期性，所以z域不同的分支的函數值是相同的。換句話說，如果沒有采樣，直接進行z變換，將會得到一個多值的複變函數！所以一般只對採樣完了後的信號做z變換！

這裏講了時域的採樣，時域採樣後，信號只有間的頻譜，即最高頻率只有採樣頻率一半，但是要記錄這樣一個信號，仍然需要無限大的存儲空間，可以進一步對頻域進行採樣。如果時間有限（這與頻率受限互相矛盾）的信號，那麼通過頻域採樣（時域做週期擴展）可以不失真地從採樣的信號中恢復原始信號。並且信號長度是有限的，這就是離散傅里葉變換（DFT），它有著名的快速算法快速傅里葉變換（FFT）。爲什麼我要說DFT呢，因爲計算機要有效地對一般的信號做傅里葉變換，都是用DFT來實現的。除非信號具有簡單的解析表達式！

總結起來說，就是對於一個線性系統，輸入輸出是線性關係的，不論是線性電路還是光路，只要可以用一個線性方程或線性微分方程（如拉普拉斯方程、泊松方程等）來描述的系統，都可以通過傅里葉分析從頻域來分析這個系統的特性，比單純從時域分析要強大得多！兩個著名的應用例子就是線性電路和傅里葉光學（信息光學）。甚至非線性系統，也在很多情況裏面使用線性系統的東西！所以傅里葉變換才這麼重要！你看最早傅里葉最早也是爲了求解熱傳導方程（那裏其實也可以看做一個線性系統）！

　　傅里葉變換的思想還在不同領域有很多演變，比如在信號處理中的小波變換，它也是採用一組基函數來表達信號，只不過克服了傅里葉變換不能同時做時頻分析的問題。

　　最後，我從純數學的角度說一下傅里葉變化到底是什麼。

還記得線性代數中的代數方程嗎？如果A是對稱方陣，可以找到矩陣A的所有互相正交的特徵向量和特徵值，然後將向量x和b表示成特徵向量的組合由於特徵向量的正交關係，矩陣的代數方程可以化爲n個標量代數方程，是不是很神奇！！你會問這跟傅里葉變換有毛關係啊？別急，再看非齊次線性常微分方程可以驗證指數函數是他的特徵函數，如果把方程改寫爲算子表示，那麼有，這是不是和線性方程的特徵向量特徵值很像。把y 和 z都表示爲指數函數的線性組合，那麼經過這種變換之後，常微分方程變爲標量代數方程了！！而將y和z表示成指數函數的線性組合的過程就是傅里葉變換（或拉普拉斯變換）。在偏微分方程如波動方程中也有類似結論！這是我在上數理方程課程的時候體會到的。