2. 操作臂運動學

原創

2019-07-30 10:19

1.概述

1.1 連桿

操作臂可以看成是一系列剛體通過關節連接而成的一個串行運動鏈，這些剛體稱爲連桿。常見的連桿有轉動和移動關節的。爲每個連桿建立一個固連座標系，包括基座標系，n個關節機器人一共有n個關節、n個連桿，n+1個·座標系。空間物體的自由度最多是6個，因此6關節機器人即可實現操作端在空間的6自由度運動：3個自由度用於確定操作端位置，另外3個自由度用於確定操作端姿態，操作端的位姿由6個關節可以完全確定。少於6個自由度是欠驅動操作臂，多餘6個自由度的是冗餘驅動操作臂。從操作臂的基座開始爲連桿編號，固定基座看作連桿0，以此類推，最末端連桿爲連桿n 。

爲描述每個連桿與相鄰連桿之間的相對位置關係，需要在每個連桿上定義一個固連座標系。固連在連桿i上的座標系稱爲座標系{i}。

1.2 連桿附加座標系的規定

連桿i參照關節軸i運動（沿其轉動或直線移動），座標系{i}的Z軸與關節軸i重合，方向可任意確定；兩條相鄰Z軸存在公垂線，稱 $z_{i-1}$ 與的公垂線爲的前公垂線，另一條爲的後公垂線。如相鄰Z軸平行，選任意一條公垂線即可。

{i}座標系的原點位於其後公垂線與的交點處；

{i}座標系的沿後公垂線指向關節軸i+1。如與 $z_{i+1}$ 相交，則可任意選擇後公垂線上一個方向。

{i}座標系的軸由右手定則根據和確定。

2.D-H參數

2.1連桿的4 個參數：

1、連桿長度：關節軸i-1同關節軸i 的公垂線長度定義爲連桿i-1的長度 $a_{i-1}$ ，也即關節軸i-1沿移動直至與關節軸i相交（重合）的距離。

2、連桿轉角：繞圖中軸 $x_{i-1}$ ，按右手法則旋轉關節軸i-1，使其與關節軸i平行，轉動角度爲連桿轉角 $\alpha_{i-1}$ 。

3、連桿偏距：沿方向，關節軸i上前公垂線交點到後公垂線交點的位移。

4、關節角：繞圖中軸按右手法則旋轉前公垂線，使其與軸平行，轉動角位移爲關節角 $\theta_i$ 。

注意：與 $\theta_i$ 當中至多有一個是關節變量。

最後，在總結一下：

舉個例子：

2.2 連桿座標系變換

連桿座標系變換 $_{i}^{i-1}\textrm{T}$ （{i-1}→{i}）的推導採用相對組合變換:

1) 從i-1座標系出發，繞 $x_{i-1}$ 旋轉 $\alpha_{i-1}$ 角，使 $z_{i-1}^'$ 與同方向。

2）沿 $x_{i-1}^{'}$ 平移 $a_{i-1}$ ，使 $z_{i}^{''}$ 與 $z_{i}$ 重合

3）再繞 $z_{i-1}^{''}$ 旋轉 $\theta_{i}$ ，使變換後的 $x_{i-1}^{'''}$ 與 $x_{i}$ 同方向

4）在沿 $z_{i-1}^{'''}$ 平移，使變換後的座標系與座標系重合。

則：

$_{i-1}^{i}\textrm{T}=Rot(x,\alpha_{i-1})Trans(a_{i-1},0,0)Rot(z,\theta_{i})Trans(0,0,d_i)$

$Rot(x,\alpha_{i-1})=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\ 0& c\alpha_{i-1} & -s\alpha_{i-1} &0 \\ 0 & s\alpha_{i-1}& c\alpha_{i-1} &0 \\ 0&0 & 0 &1 \end{bmatrix}$ $Trans(a_{i-1},0,0)=\begin{bmatrix} 1 &0 & 0 & a_{i-1}\\ 0& 1 & 0&0 \\ 0& 0 & 1&0 \\ 0& 0 &0 & 1 \end{bmatrix}$

$Rot(z,\theta_{i})=\begin{bmatrix} c\theta_{i} & -s\theta_{i} & 0 &0 \\ s\theta_{i} &c\theta_{i} & 0 &0 \\ 0& 0 &1 &0 \\ 0&0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $Trans(0,0,d_{i})=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0&0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0& 0&1 & d_i\\ 0& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$_{i-1}^{i}\textrm{T}=Rot(x,\alpha_{i-1})Trans(a_{i-1},0,0)Rot(z,\theta_{i})Trans(0,0,d_i)$

$=\begin{bmatrix} c\theta_{i} & -s\theta_{i}& 0 &a_{i-1} \\ s\theta_{i}c\alpha_{i-1} &c\theta_{i}c\alpha_{i-1} & -s\alpha_{i-1} &-s\alpha_{i-1}d_i \\ s\theta_{i}s\alpha_{i-1} & c\theta_{i}s\alpha_{i-1} & c\alpha_{i-1} &c\alpha_{i-1}d_i \\ 0 & 0 &0 &1 \end{bmatrix}$

2.3 操作臂的正向運動學

計算座標系{n}相對於座標系{0}的變換矩陣（一系列相對組合變換）： $_{n}^{0}\textrm{T}=_{1}^{0}\textrm{T}_{2}^{1}\textrm{T}...._{n}^{n-1}\textrm{T}$

變換矩陣 $_{n}^{0}\textrm{T}$ 是關於n個變量（旋轉變量 $\theta_i$ 或移動變量）的函數。如能測量得到操作臂關節變量的值，就可以根據變換矩陣 $_{n}^{0}\textrm{T}$ 計算出末端連桿座標系在笛卡兒空間中的位置和姿態。

這就是操作臂的正向運動學計算。

舉例：

D-H參數表：

PUMA560 1-3軸的連桿座標轉換矩陣：

再舉個例子：

D-H參數表：

i	$\alpha_{i-1}$	$a_{i-1}$	$d_{i}$	$\theta_{i}$
1	0	0	0	$\theta_1$	$_{1}^{0}\textrm{T}$
2	$-90^{\circ}$			$\theta_{2}$	$_{2}^{1}\textrm{T}$
7	$90^{\circ}$			$\theta_{7}$	$_{7}^{2}\textrm{T}$
3	$-90^{\circ}$			$\theta_{3}$	$_{3}^{7}\textrm{T}$
4	$90^{\circ}$			$\theta_{4}$	$_{4}^{3}\textrm{T}$
5	$-90^{\circ}$			$\theta_{5}$	$_{5}^{4}\textrm{T}$
6	$90^{\circ}$			$\theta_{6}$	$_{6}^{5}\textrm{T}$