1. 前言
算法爲王。想學好前端，先練好內功，內功不行，就算招式練的再花哨，終究成不了高手；只有內功深厚者，前端之路纔會走得更遠。
筆者寫的 JavaScript 數據結構與算法之美 系列用的語言是 JavaScript ，旨在入門數據結構與算法和方便以後複習。
文中包含了 十大經典排序算法 的思想、代碼實現、一些例子、複雜度分析、動畫、還有算法可視化工具。
這應該是目前最全的 JavaScript 十大經典排序算法 的講解了吧。
2. 如何分析一個排序算法
複雜度分析是整個算法學習的精髓。
- 時間複雜度: 一個算法執行所耗費的時間。
- 空間複雜度: 運行完一個程序所需內存的大小。
時間和空間複雜度的詳解，請看 JavaScript 數據結構與算法之美 - 時間和空間複雜度。
學習排序算法，我們除了學習它的算法原理、代碼實現之外，更重要的是要學會如何評價、分析一個排序算法。
分析一個排序算法，要從 執行效率、內存消耗、穩定性 三方面入手。
2.1 執行效率
1. 最好情況、最壞情況、平均情況時間複雜度
我們在分析排序算法的時間複雜度時，要分別給出最好情況、最壞情況、平均情況下的時間複雜度。
除此之外，你還要說出最好、最壞時間複雜度對應的要排序的原始數據是什麼樣的。
2. 時間複雜度的係數、常數 、低階
我們知道，時間複雜度反應的是數據規模 n 很大的時候的一個增長趨勢，所以它表示的時候會忽略係數、常數、低階。
但是實際的軟件開發中，我們排序的可能是 10 個、100 個、1000 個這樣規模很小的數據，所以，在對同一階時間複雜度的排序算法性能對比的時候，我們就要把係數、常數、低階也考慮進來。
3. 比較次數和交換（或移動）次數
這一節和下一節講的都是基於比較的排序算法。基於比較的排序算法的執行過程，會涉及兩種操作，一種是元素比較大小，另一種是元素交換或移動。
所以，如果我們在分析排序算法的執行效率的時候，應該把比較次數和交換（或移動）次數也考慮進去。
2.2 內存消耗
也就是看空間複雜度。
還需要知道如下術語：
- 內排序：所有排序操作都在內存中完成；
- 外排序：由於數據太大，因此把數據放在磁盤中，而排序通過磁盤和內存的數據傳輸才能進行；
- 原地排序：原地排序算法，就是特指空間複雜度是 O(1) 的排序算法。
2.3 穩定性
- 穩定：如果待排序的序列中存在值
相等的元素，經過排序之後，相等元素之間原有的先後順序不變。
比如： a 原本在 b 前面，而 a = b，排序之後，a 仍然在 b 的前面；
- 不穩定：如果待排序的序列中存在值
相等的元素，經過排序之後，相等元素之間原有的先後順序改變。
比如：a 原本在 b 的前面，而 a = b，排序之後， a 在 b 的後面；
3. 十大經典排序算法
3.1 冒泡排序（Bubble Sort）
思想
- 冒泡排序只會操作相鄰的兩個數據。
- 每次冒泡操作都會對相鄰的兩個元素進行比較，看是否滿足大小關係要求。如果不滿足就讓它倆互換。
- 一次冒泡會讓至少一個元素移動到它應該在的位置，重複 n 次，就完成了 n 個數據的排序工作。
特點
- 優點：排序算法的基礎，簡單實用易於理解。
- 缺點：比較次數多，效率較低。
實現
// 冒泡排序（未優化）
const bubbleSort = arr => {
console.time('改進前冒泡排序耗時');
const length = arr.length;
if (length <= 1) return;
// i < length - 1 是因爲外層只需要 length-1 次就排好了，第 length 次比較是多餘的。
for (let i = 0; i < length - 1; i++) {
// j < length - i - 1 是因爲內層的 length-i-1 到 length-1 的位置已經排好了，不需要再比較一次。
for (let j = 0; j < length - i - 1; j++) {
if (arr[j] > arr[j + 1]) {
const temp = arr[j];
arr[j] = arr[j + 1];
arr[j + 1] = temp;
}
}
}
console.log('改進前 arr :', arr);
console.timeEnd('改進前冒泡排序耗時');
};優化：當某次冒泡操作已經沒有數據交換時，說明已經達到完全有序，不用再繼續執行後續的冒泡操作。
// 冒泡排序（已優化）
const bubbleSort2 = arr => {
console.time('改進後冒泡排序耗時');
const length = arr.length;
if (length <= 1) return;
// i < length - 1 是因爲外層只需要 length-1 次就排好了，第 length 次比較是多餘的。
for (let i = 0; i < length - 1; i++) {
let hasChange = false; // 提前退出冒泡循環的標誌位
// j < length - i - 1 是因爲內層的 length-i-1 到 length-1 的位置已經排好了，不需要再比較一次。
for (let j = 0; j < length - i - 1; j++) {
if (arr[j] > arr[j + 1]) {
const temp = arr[j];
arr[j] = arr[j + 1];
arr[j + 1] = temp;
hasChange = true; // 表示有數據交換
}
}
if (!hasChange) break; // 如果 false 說明所有元素已經到位，沒有數據交換，提前退出
}
console.log('改進後 arr :', arr);
console.timeEnd('改進後冒泡排序耗時');
};測試
// 測試
const arr = [7, 8, 4, 5, 6, 3, 2, 1];
bubbleSort(arr);
// 改進前 arr : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
// 改進前冒泡排序耗時: 0.43798828125ms
const arr2 = [7, 8, 4, 5, 6, 3, 2, 1];
bubbleSort2(arr2);
// 改進後 arr : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
// 改進後冒泡排序耗時: 0.318115234375ms分析
- 第一，冒泡排序是原地排序算法嗎 ？
冒泡的過程只涉及相鄰數據的交換操作，只需要常量級的臨時空間，所以它的空間複雜度爲 O(1)，是一個原地排序算法。
- 第二，冒泡排序是穩定的排序算法嗎 ？
在冒泡排序中，只有交換纔可以改變兩個元素的前後順序。
爲了保證冒泡排序算法的穩定性，當有相鄰的兩個元素大小相等的時候，我們不做交換，相同大小的數據在排序前後不會改變順序。
所以冒泡排序是穩定的排序算法。
- 第三，冒泡排序的時間複雜度是多少 ？
最佳情況：T(n) = O(n)，當數據已經是正序時。
最差情況：T(n) = O(n2)，當數據是反序時。
平均情況：T(n) = O(n2)。
動畫
3.2 插入排序（Insertion Sort）
插入排序又爲分爲 直接插入排序 和優化後的 拆半插入排序 與 希爾排序，我們通常說的插入排序是指直接插入排序。
一、直接插入
思想
一般人打撲克牌，整理牌的時候，都是按牌的大小（從小到大或者從大到小）整理牌的，那每摸一張新牌，就掃描自己的牌，把新牌插入到相應的位置。
插入排序的工作原理：通過構建有序序列，對於未排序數據，在已排序序列中從後向前掃描，找到相應位置並插入。
步驟
- 從第一個元素開始，該元素可以認爲已經被排序；
- 取出下一個元素，在已經排序的元素序列中從後向前掃描；
- 如果該元素（已排序）大於新元素，將該元素移到下一位置；
- 重複步驟 3，直到找到已排序的元素小於或者等於新元素的位置；
- 將新元素插入到該位置後；
- 重複步驟 2 ~ 5。
實現
// 插入排序
const insertionSort = array => {
const len = array.length;
if (len <= 1) return
let preIndex, current;
for (let i = 1; i < len; i++) {
preIndex = i - 1; //待比較元素的下標
current = array[i]; //當前元素
while (preIndex >= 0 && array[preIndex] > current) {
//前置條件之一: 待比較元素比當前元素大
array[preIndex + 1] = array[preIndex]; //將待比較元素後移一位
preIndex--; //遊標前移一位
}
if (preIndex + 1 != i) {
//避免同一個元素賦值給自身
array[preIndex + 1] = current; //將當前元素插入預留空位
console.log('array :', array);
}
}
return array;
};測試
// 測試
const array = [5, 4, 3, 2, 1];
console.log("原始 array :", array);
insertionSort(array);
// 原始 array: [5, 4, 3, 2, 1]
// array: [4, 5, 3, 2, 1]
// array: [3, 4, 5, 2, 1]
// array: [2, 3, 4, 5, 1]
// array: [1, 2, 3, 4, 5]分析
- 第一，插入排序是原地排序算法嗎 ？
插入排序算法的運行並不需要額外的存儲空間，所以空間複雜度是 O(1)，所以，這是一個原地排序算法。
- 第二，插入排序是穩定的排序算法嗎 ？
在插入排序中，對於值相同的元素，我們可以選擇將後面出現的元素，插入到前面出現元素的後面，這樣就可以保持原有的前後順序不變，所以插入排序是穩定的排序算法。
- 第三，插入排序的時間複雜度是多少 ？
最佳情況：T(n) = O(n)，當數據已經是正序時。
最差情況：T(n) = O(n2)，當數據是反序時。
平均情況：T(n) = O(n2)。
動畫
二、拆半插入
插入排序也有一種優化算法，叫做拆半插入。
思想
折半插入排序是直接插入排序的升級版，鑑於插入排序第一部分爲已排好序的數組，我們不必按順序依次尋找插入點，只需比較它們的中間值與待插入元素的大小即可。
步驟
- 取 0 ~ i-1 的中間點 ( m = (i-1) >> 1 )，array[i] 與 array[m] 進行比較，若 array[i] < array[m]，則說明待插入的元素 array[i] 應該處於數組的 0 ~ m 索引之間；反之，則說明它應該處於數組的 m ~ i-1 索引之間。
- 重複步驟 1，每次縮小一半的查找範圍，直至找到插入的位置。
- 將數組中插入位置之後的元素全部後移一位。
- 在指定位置插入第 i 個元素。
注：x >> 1 是位運算中的右移運算，表示右移一位，等同於 x 除以 2 再取整，即 x >> 1 == Math.floor(x/2) 。
// 折半插入排序
const binaryInsertionSort = array => {
const len = array.length;
if (len <= 1) return;
let current, i, j, low, high, m;
for (i = 1; i < len; i++) {
low = 0;
high = i - 1;
current = array[i];
while (low <= high) {
//步驟 1 & 2 : 折半查找
m = (low + high) >> 1; // 注: x>>1 是位運算中的右移運算, 表示右移一位, 等同於 x 除以 2 再取整, 即 x>>1 == Math.floor(x/2) .
if (array[i] >= array[m]) {
//值相同時, 切換到高半區，保證穩定性
low = m + 1; //插入點在高半區
} else {
high = m - 1; //插入點在低半區
}
}
for (j = i; j > low; j--) {
//步驟 3: 插入位置之後的元素全部後移一位
array[j] = array[j - 1];
console.log('array2 :', JSON.parse(JSON.stringify(array)));
}
array[low] = current; //步驟 4: 插入該元素
}
console.log('array2 :', JSON.parse(JSON.stringify(array)));
return array;
};測試
const array2 = [5, 4, 3, 2, 1];
console.log('原始 array2:', array2);
binaryInsertionSort(array2);
// 原始 array2: [5, 4, 3, 2, 1]
// array2 : [5, 5, 3, 2, 1]
// array2 : [4, 5, 5, 2, 1]
// array2 : [4, 4, 5, 2, 1]
// array2 : [3, 4, 5, 5, 1]
// array2 : [3, 4, 4, 5, 1]
// array2 : [3, 3, 4, 5, 1]
// array2 : [2, 3, 4, 5, 5]
// array2 : [2, 3, 4, 4, 5]
// array2 : [2, 3, 3, 4, 5]
// array2 : [2, 2, 3, 4, 5]
// array2 : [1, 2, 3, 4, 5]注意：和直接插入排序類似，折半插入排序每次交換的是相鄰的且值爲不同的元素，它並不會改變值相同的元素之間的順序，因此它是穩定的。
三、希爾排序
希爾排序是一個平均時間複雜度爲 O(n log n) 的算法，會在下一個章節和 歸併排序、快速排序、堆排序 一起講，本文就不展開了。
3.3 選擇排序（Selection Sort）
思路
選擇排序算法的實現思路有點類似插入排序，也分已排序區間和未排序區間。但是選擇排序每次會從未排序區間中找到最小的元素，將其放到已排序區間的末尾。
步驟
- 首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置。
- 再從剩餘未排序元素中繼續尋找最小（大）元素，然後放到已排序序列的末尾。
- 重複第二步，直到所有元素均排序完畢。
實現
const selectionSort = array => {
const len = array.length;
let minIndex, temp;
for (let i = 0; i < len - 1; i++) {
minIndex = i;
for (let j = i + 1; j < len; j++) {
if (array[j] < array[minIndex]) {
// 尋找最小的數
minIndex = j; // 將最小數的索引保存
}
}
temp = array[i];
array[i] = array[minIndex];
array[minIndex] = temp;
console.log('array: ', array);
}
return array;
};測試
// 測試
const array = [5, 4, 3, 2, 1];
console.log('原始array:', array);
selectionSort(array);
// 原始 array: [5, 4, 3, 2, 1]
// array: [1, 4, 3, 2, 5]
// array: [1, 2, 3, 4, 5]
// array: [1, 2, 3, 4, 5]
// array: [1, 2, 3, 4, 5]分析
- 第一，選擇排序是原地排序算法嗎 ？
選擇排序空間複雜度爲 O(1)，是一種原地排序算法。
- 第二，選擇排序是穩定的排序算法嗎 ？
選擇排序每次都要找剩餘未排序元素中的最小值，並和前面的元素交換位置，這樣破壞了穩定性。所以，選擇排序是一種不穩定的排序算法。
- 第三，選擇排序的時間複雜度是多少 ？
無論是正序還是逆序，選擇排序都會遍歷 n2 / 2 次來排序，所以，最佳、最差和平均的複雜度是一樣的。
最佳情況：T(n) = O(n2)。
最差情況：T(n) = O(n2)。
平均情況：T(n) = O(n2)。
動畫
3.4 歸併排序（Merge Sort）
思想
排序一個數組，我們先把數組從中間分成前後兩部分，然後對前後兩部分分別排序，再將排好序的兩部分合併在一起，這樣整個數組就都有序了。
歸併排序採用的是分治思想。
分治，顧名思義，就是分而治之，將一個大問題分解成小的子問題來解決。小的子問題解決了，大問題也就解決了。
注：x >> 1 是位運算中的右移運算，表示右移一位，等同於 x 除以 2 再取整，即 x >> 1 === Math.floor(x / 2) 。
實現
const mergeSort = arr => {
//採用自上而下的遞歸方法
const len = arr.length;
if (len < 2) {
return arr;
}
// length >> 1 和 Math.floor(len / 2) 等價
let middle = Math.floor(len / 2),
left = arr.slice(0, middle),
right = arr.slice(middle); // 拆分爲兩個子數組
return merge(mergeSort(left), mergeSort(right));
};
const merge = (left, right) => {
const result = [];
while (left.length && right.length) {
// 注意: 判斷的條件是小於或等於，如果只是小於，那麼排序將不穩定.
if (left[0] <= right[0]) {
result.push(left.shift());
} else {
result.push(right.shift());
}
}
while (left.length) result.push(left.shift());
while (right.length) result.push(right.shift());
return result;
};測試
// 測試
const arr = [3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48];
console.time('歸併排序耗時');
console.log('arr :', mergeSort(arr));
console.timeEnd('歸併排序耗時');
// arr : [2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50]
// 歸併排序耗時: 0.739990234375ms分析
- 第一，歸併排序是原地排序算法嗎 ？
這是因爲歸併排序的合併函數，在合併兩個有序數組爲一個有序數組時，需要藉助額外的存儲空間。
實際上，儘管每次合併操作都需要申請額外的內存空間，但在合併完成之後，臨時開闢的內存空間就被釋放掉了。在任意時刻，CPU 只會有一個函數在執行，也就只會有一個臨時的內存空間在使用。臨時內存空間最大也不會超過 n 個數據的大小，所以空間複雜度是 O(n)。
所以，歸併排序不是原地排序算法。
- 第二，歸併排序是穩定的排序算法嗎 ？
merge 方法裏面的 left[0] <= right[0] ，保證了值相同的元素，在合併前後的先後順序不變。歸併排序是穩定的排序方法。
- 第三，歸併排序的時間複雜度是多少 ？
從效率上看，歸併排序可算是排序算法中的佼佼者。假設數組長度爲 n，那麼拆分數組共需 logn 步，又每步都是一個普通的合併子數組的過程，時間複雜度爲 O(n)，故其綜合時間複雜度爲 O(n log n)。
最佳情況：T(n) = O(n log n)。
最差情況：T(n) = O(n log n)。
平均情況：T(n) = O(n log n)。
動畫
3.5 快速排序 （Quick Sort）
快速排序的特點就是快，而且效率高！它是處理大數據最快的排序算法之一。
思想
- 先找到一個基準點（一般指數組的中部），然後數組被該基準點分爲兩部分，依次與該基準點數據比較，如果比它小，放左邊；反之，放右邊。
- 左右分別用一個空數組去存儲比較後的數據。
- 最後遞歸執行上述操作，直到數組長度 <= 1;
特點：快速，常用。
缺點：需要另外聲明兩個數組，浪費了內存空間資源。
實現
方法一：
const quickSort1 = arr => {
if (arr.length <= 1) {
return arr;
}
//取基準點
const midIndex = Math.floor(arr.length / 2);
//取基準點的值，splice(index,1) 則返回的是含有被刪除的元素的數組。
const valArr = arr.splice(midIndex, 1);
const midIndexVal = valArr[0];
const left = []; //存放比基準點小的數組
const right = []; //存放比基準點大的數組
//遍歷數組，進行判斷分配
for (let i = 0; i < arr.length; i++) {
if (arr[i] < midIndexVal) {
left.push(arr[i]); //比基準點小的放在左邊數組
} else {
right.push(arr[i]); //比基準點大的放在右邊數組
}
}
//遞歸執行以上操作，對左右兩個數組進行操作，直到數組長度爲 <= 1
return quickSort1(left).concat(midIndexVal, quickSort1(right));
};
const array2 = [5, 4, 3, 2, 1];
console.log('quickSort1 ', quickSort1(array2));
// quickSort1: [1, 2, 3, 4, 5]方法二：
// 快速排序
const quickSort = (arr, left, right) => {
let len = arr.length,
partitionIndex;
left = typeof left != 'number' ? 0 : left;
right = typeof right != 'number' ? len - 1 : right;
if (left < right) {
partitionIndex = partition(arr, left, right);
quickSort(arr, left, partitionIndex - 1);
quickSort(arr, partitionIndex + 1, right);
}
return arr;
};
const partition = (arr, left, right) => {
//分區操作
let pivot = left, //設定基準值（pivot）
index = pivot + 1;
for (let i = index; i <= right; i++) {
if (arr[i] < arr[pivot]) {
swap(arr, i, index);
index++;
}
}
swap(arr, pivot, index - 1);
return index - 1;
};
const swap = (arr, i, j) => {
let temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
};測試
// 測試
const array = [5, 4, 3, 2, 1];
console.log('原始array:', array);
const newArr = quickSort(array);
console.log('newArr:', newArr);
// 原始 array: [5, 4, 3, 2, 1]
// newArr: [1, 4, 3, 2, 5]分析
- 第一，快速排序是原地排序算法嗎 ？
因爲 partition() 函數進行分區時，不需要很多額外的內存空間，所以快排是原地排序算法。
- 第二，快速排序是穩定的排序算法嗎 ？
和選擇排序相似，快速排序每次交換的元素都有可能不是相鄰的，因此它有可能打破原來值爲相同的元素之間的順序。因此，快速排序並不穩定。
- 第三，快速排序的時間複雜度是多少 ？
極端的例子：如果數組中的數據原來已經是有序的了，比如 1，3，5，6，8。如果我們每次選擇最後一個元素作爲 pivot，那每次分區得到的兩個區間都是不均等的。我們需要進行大約 n 次分區操作，才能完成快排的整個過程。每次分區我們平均要掃描大約 n / 2 個元素，這種情況下，快排的時間複雜度就從 O(nlogn) 退化成了 O(n2)。
最佳情況：T(n) = O(n log n)。
最差情況：T(n) = O(n2)。
平均情況：T(n) = O(n log n)。
動畫
解答開篇問題
快排和歸併用的都是分治思想，遞推公式和遞歸代碼也非常相似，那它們的區別在哪裏呢 ？
可以發現：
- 歸併排序的處理過程是
由下而上的，先處理子問題，然後再合併。 - 而快排正好相反，它的處理過程是
由上而下的，先分區，然後再處理子問題。 - 歸併排序雖然是穩定的、時間複雜度爲 O(nlogn) 的排序算法，但是它是非原地排序算法。
- 歸併之所以是非原地排序算法，主要原因是合併函數無法在原地執行。
- 快速排序通過設計巧妙的原地分區函數，可以實現原地排序，解決了歸併排序佔用太多內存的問題。
3.6 希爾排序（Shell Sort）
思想
- 先將整個待排序的記錄序列分割成爲若干子序列。
- 分別進行直接插入排序。
- 待整個序列中的記錄基本有序時，再對全體記錄進行依次直接插入排序。
過程
1.舉個易於理解的例子：[35, 33, 42, 10, 14, 19, 27, 44]，我們採取間隔 4。創建一個位於 4 個位置間隔的所有值的虛擬子列表。下面這些值是 { 35, 14 }，{ 33, 19 }，{ 42, 27 } 和 { 10, 44 }。
2.我們比較每個子列表中的值，並在原始數組中交換它們（如果需要）。完成此步驟後，新數組應如下所示。
3.然後，我們採用 2 的間隔，這個間隙產生兩個子列表：{ 14, 27, 35, 42 }， { 19, 10, 33, 44 }。
4.我們比較並交換原始數組中的值（如果需要）。完成此步驟後，數組變成：[14, 10, 27, 19, 35, 33, 42, 44]，圖如下所示，10 與 19 的位置互換一下。
5.最後，我們使用值間隔 1 對數組的其餘部分進行排序，Shell sort 使用插入排序對數組進行排序。
實現
const shellSort = arr => {
let len = arr.length,
temp,
gap = 1;
console.time('希爾排序耗時');
while (gap < len / 3) {
//動態定義間隔序列
gap = gap * 3 + 1;
}
for (gap; gap > 0; gap = Math.floor(gap / 3)) {
for (let i = gap; i < len; i++) {
temp = arr[i];
let j = i - gap;
for (; j >= 0 && arr[j] > temp; j -= gap) {
arr[j + gap] = arr[j];
}
arr[j + gap] = temp;
console.log('arr :', arr);
}
}
console.timeEnd('希爾排序耗時');
return arr;
};測試
// 測試
const array = [35, 33, 42, 10, 14, 19, 27, 44];
console.log('原始array:', array);
const newArr = shellSort(array);
console.log('newArr:', newArr);
// 原始 array: [35, 33, 42, 10, 14, 19, 27, 44]
// arr : [14, 33, 42, 10, 35, 19, 27, 44]
// arr : [14, 19, 42, 10, 35, 33, 27, 44]
// arr : [14, 19, 27, 10, 35, 33, 42, 44]
// arr : [14, 19, 27, 10, 35, 33, 42, 44]
// arr : [14, 19, 27, 10, 35, 33, 42, 44]
// arr : [14, 19, 27, 10, 35, 33, 42, 44]
// arr : [10, 14, 19, 27, 35, 33, 42, 44]
// arr : [10, 14, 19, 27, 35, 33, 42, 44]
// arr : [10, 14, 19, 27, 33, 35, 42, 44]
// arr : [10, 14, 19, 27, 33, 35, 42, 44]
// arr : [10, 14, 19, 27, 33, 35, 42, 44]
// 希爾排序耗時: 3.592041015625ms
// newArr: [10, 14, 19, 27, 33, 35, 42, 44]分析
- 第一，希爾排序是原地排序算法嗎 ？
希爾排序過程中，只涉及相鄰數據的交換操作，只需要常量級的臨時空間，空間複雜度爲 O(1) 。所以，希爾排序是原地排序算法。
- 第二，希爾排序是穩定的排序算法嗎 ？
我們知道，單次直接插入排序是穩定的，它不會改變相同元素之間的相對順序，但在多次不同的插入排序過程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移動，可能導致相同元素相對順序發生變化。
因此，希爾排序不穩定。
- 第三，希爾排序的時間複雜度是多少 ？
最佳情況：T(n) = O(n log n)。
最差情況：T(n) = O(n log2 n)。
平均情況：T(n) = O(n log2 n)。
動畫
3.7 堆排序（Heap Sort）
堆的定義
堆其實是一種特殊的樹。只要滿足這兩點，它就是一個堆。
- 堆是一個完全二叉樹。
完全二叉樹：除了最後一層，其他層的節點個數都是滿的，最後一層的節點都靠左排列。
- 堆中每一個節點的值都必須大於等於（或小於等於）其子樹中每個節點的值。
也可以說：堆中每個節點的值都大於等於（或者小於等於）其左右子節點的值。這兩種表述是等價的。
對於每個節點的值都大於等於子樹中每個節點值的堆，我們叫作大頂堆。
對於每個節點的值都小於等於子樹中每個節點值的堆，我們叫作小頂堆。
其中圖 1 和 圖 2 是大頂堆，圖 3 是小頂堆，圖 4 不是堆。除此之外，從圖中還可以看出來，對於同一組數據，我們可以構建多種不同形態的堆。
思想
- 將初始待排序關鍵字序列 (R1, R2 .... Rn) 構建成大頂堆，此堆爲初始的無序區；
- 將堆頂元素 R[1] 與最後一個元素 R[n] 交換，此時得到新的無序區 (R1, R2, ..... Rn-1) 和新的有序區 (Rn) ，且滿足 R[1, 2 ... n-1] <= R[n]。
- 由於交換後新的堆頂 R[1] 可能違反堆的性質，因此需要對當前無序區 (R1, R2 ...... Rn-1) 調整爲新堆，然後再次將 R[1] 與無序區最後一個元素交換，得到新的無序區 (R1, R2 .... Rn-2) 和新的有序區 (Rn-1, Rn)。不斷重複此過程，直到有序區的元素個數爲 n - 1，則整個排序過程完成。
實現
// 堆排序
const heapSort = array => {
console.time('堆排序耗時');
// 初始化大頂堆，從第一個非葉子結點開始
for (let i = Math.floor(array.length / 2 - 1); i >= 0; i--) {
heapify(array, i, array.length);
}
// 排序，每一次 for 循環找出一個當前最大值，數組長度減一
for (let i = Math.floor(array.length - 1); i > 0; i--) {
// 根節點與最後一個節點交換
swap(array, 0, i);
// 從根節點開始調整，並且最後一個結點已經爲當前最大值，不需要再參與比較，所以第三個參數爲 i，即比較到最後一個結點前一個即可
heapify(array, 0, i);
}
console.timeEnd('堆排序耗時');
return array;
};
// 交換兩個節點
const swap = (array, i, j) => {
let temp = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = temp;
};
// 將 i 結點以下的堆整理爲大頂堆，注意這一步實現的基礎實際上是：
// 假設結點 i 以下的子堆已經是一個大頂堆，heapify 函數實現的
// 功能是實際上是：找到 結點 i 在包括結點 i 的堆中的正確位置。
// 後面將寫一個 for 循環，從第一個非葉子結點開始，對每一個非葉子結點
// 都執行 heapify 操作，所以就滿足了結點 i 以下的子堆已經是一大頂堆
const heapify = (array, i, length) => {
let temp = array[i]; // 當前父節點
// j < length 的目的是對結點 i 以下的結點全部做順序調整
for (let j = 2 * i + 1; j < length; j = 2 * j + 1) {
temp = array[i]; // 將 array[i] 取出，整個過程相當於找到 array[i] 應處於的位置
if (j + 1 < length && array[j] < array[j + 1]) {
j++; // 找到兩個孩子中較大的一個，再與父節點比較
}
if (temp < array[j]) {
swap(array, i, j); // 如果父節點小於子節點:交換；否則跳出
i = j; // 交換後，temp 的下標變爲 j
} else {
break;
}
}
};測試
const array = [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2];
console.log('原始array:', array);
const newArr = heapSort(array);
console.log('newArr:', newArr);
// 原始 array: [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2]
// 堆排序耗時: 0.15087890625ms
// newArr: [1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9]分析
- 第一，堆排序是原地排序算法嗎 ？
整個堆排序的過程，都只需要極個別臨時存儲空間，所以堆排序是原地排序算法。
- 第二，堆排序是穩定的排序算法嗎 ？
因爲在排序的過程，存在將堆的最後一個節點跟堆頂節點互換的操作，所以就有可能改變值相同數據的原始相對順序。
所以，堆排序是不穩定的排序算法。
- 第三，堆排序的時間複雜度是多少 ？
堆排序包括建堆和排序兩個操作，建堆過程的時間複雜度是 O(n)，排序過程的時間複雜度是 O(nlogn)，所以，堆排序整體的時間複雜度是 O(nlogn)。
最佳情況：T(n) = O(n log n)。
最差情況：T(n) = O(n log n)。
平均情況：T(n) = O(n log n)。
動畫
3.8 桶排序（Bucket Sort）
桶排序是計數排序的升級版，也採用了分治思想。
思想
- 將要排序的數據分到有限數量的幾個有序的桶裏。
- 每個桶裏的數據再單獨進行排序（一般用插入排序或者快速排序）。
- 桶內排完序之後，再把每個桶裏的數據按照順序依次取出，組成的序列就是有序的了。
比如：
桶排序利用了函數的映射關係，高效與否的關鍵就在於這個映射函數的確定。
爲了使桶排序更加高效，我們需要做到這兩點：
- 在額外空間充足的情況下，儘量增大桶的數量。
- 使用的映射函數能夠將輸入的 N 個數據均勻的分配到 K 個桶中。
桶排序的核心：就在於怎麼把元素平均分配到每個桶裏，合理的分配將大大提高排序的效率。
實現
// 桶排序
const bucketSort = (array, bucketSize) => {
if (array.length === 0) {
return array;
}
console.time('桶排序耗時');
let i = 0;
let minValue = array[0];
let maxValue = array[0];
for (i = 1; i < array.length; i++) {
if (array[i] < minValue) {
minValue = array[i]; //輸入數據的最小值
} else if (array[i] > maxValue) {
maxValue = array[i]; //輸入數據的最大值
}
}
//桶的初始化
const DEFAULT_BUCKET_SIZE = 5; //設置桶的默認數量爲 5
bucketSize = bucketSize || DEFAULT_BUCKET_SIZE;
const bucketCount = Math.floor((maxValue - minValue) / bucketSize) + 1;
const buckets = new Array(bucketCount);
for (i = 0; i < buckets.length; i++) {
buckets[i] = [];
}
//利用映射函數將數據分配到各個桶中
for (i = 0; i < array.length; i++) {
buckets[Math.floor((array[i] - minValue) / bucketSize)].push(array[i]);
}
array.length = 0;
for (i = 0; i < buckets.length; i++) {
quickSort(buckets[i]); //對每個桶進行排序，這裏使用了快速排序
for (var j = 0; j < buckets[i].length; j++) {
array.push(buckets[i][j]);
}
}
console.timeEnd('桶排序耗時');
return array;
};
// 快速排序
const quickSort = (arr, left, right) => {
let len = arr.length,
partitionIndex;
left = typeof left != 'number' ? 0 : left;
right = typeof right != 'number' ? len - 1 : right;
if (left < right) {
partitionIndex = partition(arr, left, right);
quickSort(arr, left, partitionIndex - 1);
quickSort(arr, partitionIndex + 1, right);
}
return arr;
};
const partition = (arr, left, right) => {
//分區操作
let pivot = left, //設定基準值（pivot）
index = pivot + 1;
for (let i = index; i <= right; i++) {
if (arr[i] < arr[pivot]) {
swap(arr, i, index);
index++;
}
}
swap(arr, pivot, index - 1);
return index - 1;
};
const swap = (arr, i, j) => {
let temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
};測試
const array = [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2];
console.log('原始array:', array);
const newArr = bucketSort(array);
console.log('newArr:', newArr);
// 原始 array: [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2]
// 堆排序耗時: 0.133056640625ms
// newArr: [1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9]分析
- 第一，桶排序是原地排序算法嗎 ？
因爲桶排序的空間複雜度，也即內存消耗爲 O(n)，所以不是原地排序算法。
- 第二，桶排序是穩定的排序算法嗎 ？
取決於每個桶的排序方式，比如：快排就不穩定，歸併就穩定。
- 第三，桶排序的時間複雜度是多少 ？
因爲桶內部的排序可以有多種方法，是會對桶排序的時間複雜度產生很重大的影響。所以，桶排序的時間複雜度可以是多種情況的。總的來說
最佳情況：當輸入的數據可以均勻的分配到每一個桶中。
最差情況：當輸入的數據被分配到了同一個桶中。
以下是桶的內部排序爲快速排序的情況：
如果要排序的數據有 n 個，我們把它們均勻地劃分到 m 個桶內，每個桶裏就有 k =n / m 個元素。每個桶內部使用快速排序，時間複雜度爲 O(k * logk)。
m 個桶排序的時間複雜度就是 O(m k logk)，因爲 k = n / m，所以整個桶排序的時間複雜度就是 O(n*log(n/m))。
當桶的個數 m 接近數據個數 n 時，log(n/m) 就是一個非常小的常量，這個時候桶排序的時間複雜度接近 O(n)。
最佳情況：T(n) = O(n)。當輸入的數據可以均勻的分配到每一個桶中。
最差情況：T(n) = O(nlogn)。當輸入的數據被分配到了同一個桶中。
平均情況：T(n) = O(n)。
桶排序最好情況下使用線性時間 O(n)，桶排序的時間複雜度，取決與對各個桶之間數據進行排序的時間複雜度，因爲其它部分的時間複雜度都爲 O(n)。
很顯然，桶劃分的越小，各個桶之間的數據越少，排序所用的時間也會越少。但相應的空間消耗就會增大。
適用場景
- 桶排序比較適合用在外部排序中。
- 外部排序就是數據存儲在外部磁盤且數據量大，但內存有限，無法將整個數據全部加載到內存中。
動畫
3.9 計數排序（Counting Sort）
思想
- 找出待排序的數組中最大和最小的元素。
- 統計數組中每個值爲 i 的元素出現的次數，存入新數組 countArr 的第 i 項。
- 對所有的計數累加（從 countArr 中的第一個元素開始，每一項和前一項相加）。
- 反向填充目標數組：將每個元素 i 放在新數組的第 countArr[i] 項，每放一個元素就將 countArr[i] 減去 1 。
關鍵在於理解最後反向填充時的操作。
使用條件
- 只能用在數據範圍不大的場景中，若數據範圍 k 比要排序的數據 n 大很多，就不適合用計數排序。
- 計數排序只能給非負整數排序，其他類型需要在不改變相對大小情況下，轉換爲非負整數。
- 比如如果考試成績精確到小數後一位，就需要將所有分數乘以 10，轉換爲整數。
實現
方法一：
const countingSort = array => {
let len = array.length,
result = [],
countArr = [],
min = (max = array[0]);
console.time('計數排序耗時');
for (let i = 0; i < len; i++) {
// 獲取最小，最大 值
min = min <= array[i] ? min : array[i];
max = max >= array[i] ? max : array[i];
countArr[array[i]] = countArr[array[i]] ? countArr[array[i]] + 1 : 1;
}
console.log('countArr :', countArr);
// 從最小值 -> 最大值,將計數逐項相加
for (let j = min; j < max; j++) {
countArr[j + 1] = (countArr[j + 1] || 0) + (countArr[j] || 0);
}
console.log('countArr 2:', countArr);
// countArr 中,下標爲 array 數值，數據爲 array 數值出現次數；反向填充數據進入 result 數據
for (let k = len - 1; k >= 0; k--) {
// result[位置] = array 數據
result[countArr[array[k]] - 1] = array[k];
// 減少 countArr 數組中保存的計數
countArr[array[k]]--;
// console.log("array[k]:", array[k], 'countArr[array[k]] :', countArr[array[k]],)
console.log('result:', result);
}
console.timeEnd('計數排序耗時');
return result;
};測試
const array = [2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2];
console.log('原始 array: ', array);
const newArr = countingSort(array);
console.log('newArr: ', newArr);
// 原始 array: [2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2]
// 計數排序耗時: 5.6708984375ms
// newArr: [1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9]
方法二：
const countingSort2 = (arr, maxValue) => {
console.time('計數排序耗時');
maxValue = maxValue || arr.length;
let bucket = new Array(maxValue + 1),
sortedIndex = 0;
(arrLen = arr.length), (bucketLen = maxValue + 1);
for (let i = 0; i < arrLen; i++) {
if (!bucket[arr[i]]) {
bucket[arr[i]] = 0;
}
bucket[arr[i]]++;
}
for (let j = 0; j < bucketLen; j++) {
while (bucket[j] > 0) {
arr[sortedIndex++] = j;
bucket[j]--;
}
}
console.timeEnd('計數排序耗時');
return arr;
};測試
const array2 = [2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2];
console.log('原始 array2: ', array2);
const newArr2 = countingSort2(array2, 21);
console.log('newArr2: ', newArr2);
// 原始 array: [2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2]
// 計數排序耗時: 0.043212890625ms
// newArr: [1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9]例子
可以認爲，計數排序其實是桶排序的一種特殊情況。
當要排序的 n 個數據，所處的範圍並不大的時候，比如最大值是 k，我們就可以把數據劃分成 k 個桶。每個桶內的數據值都是相同的，省掉了桶內排序的時間。
我們都經歷過高考，高考查分數系統你還記得嗎？我們查分數的時候，系統會顯示我們的成績以及所在省的排名。如果你所在的省有 50 萬考生，如何通過成績快速排序得出名次呢？
- 考生的滿分是 900 分，最小是 0 分，這個數據的範圍很小，所以我們可以分成 901 個桶，對應分數從 0 分到 900 分。
- 根據考生的成績，我們將這 50 萬考生劃分到這 901 個桶裏。桶內的數據都是分數相同的考生，所以並不需要再進行排序。
- 我們只需要依次掃描每個桶，將桶內的考生依次輸出到一個數組中，就實現了 50 萬考生的排序。
- 因爲只涉及掃描遍歷操作，所以時間複雜度是 O(n)。
分析
- 第一，計數排序是原地排序算法嗎 ？
因爲計數排序的空間複雜度爲 O(k)，k 桶的個數，所以不是原地排序算法。
- 第二，計數排序是穩定的排序算法嗎 ？
計數排序不改變相同元素之間原本相對的順序，因此它是穩定的排序算法。
- 第三，計數排序的時間複雜度是多少 ？
最佳情況：T(n) = O(n + k)
最差情況：T(n) = O(n + k)
平均情況：T(n) = O(n + k)
k 是待排序列最大值。
動畫
3.10 基數排序（Radix Sort）
思想
基數排序是一種非比較型整數排序算法，其原理是將整數按位數切割成不同的數字，然後按每個位數分別比較。
例子
假設我們有 10 萬個手機號碼，希望將這 10 萬個手機號碼從小到大排序，你有什麼比較快速的排序方法呢 ？
這個問題裏有這樣的規律：假設要比較兩個手機號碼 a，b 的大小，如果在前面幾位中，a 手機號碼已經比 b 手機號碼大了，那後面的幾位就不用看了。所以是基於位來比較的。
桶排序、計數排序能派上用場嗎 ？手機號碼有 11 位，範圍太大，顯然不適合用這兩種排序算法。針對這個排序問題，有沒有時間複雜度是 O(n) 的算法呢 ？ 有，就是基數排序。
使用條件
- 要求數據可以分割獨立的
位來比較； - 位之間由遞進關係，如果 a 數據的高位比 b 數據大，那麼剩下的地位就不用比較了；
- 每一位的數據範圍不能太大，要可以用線性排序，否則基數排序的時間複雜度無法做到 O(n)。
方案
按照優先從高位或低位來排序有兩種實現方案:
- MSD：由高位爲基底，先按 k1 排序分組，同一組中記錄, 關鍵碼 k1 相等，再對各組按 k2 排序分成子組, 之後，對後面的關鍵碼繼續這樣的排序分組，直到按最次位關鍵碼 kd 對各子組排序後，再將各組連接起來，便得到一個有序序列。MSD 方式適用於位數多的序列。
- LSD：由低位爲基底，先從 kd 開始排序，再對 kd - 1 進行排序，依次重複，直到對 k1 排序後便得到一個有序序列。LSD 方式適用於位數少的序列。
實現
/**
* name: 基數排序
* @param array 待排序數組
* @param max 最大位數
*/
const radixSort = (array, max) => {
console.time('計數排序耗時');
const buckets = [];
let unit = 10,
base = 1;
for (let i = 0; i < max; i++, base *= 10, unit *= 10) {
for (let j = 0; j < array.length; j++) {
let index = ~~((array[j] % unit) / base); //依次過濾出個位，十位等等數字
if (buckets[index] == null) {
buckets[index] = []; //初始化桶
}
buckets[index].push(array[j]); //往不同桶裏添加數據
}
let pos = 0,
value;
for (let j = 0, length = buckets.length; j < length; j++) {
if (buckets[j] != null) {
while ((value = buckets[j].shift()) != null) {
array[pos++] = value; //將不同桶裏數據挨個撈出來，爲下一輪高位排序做準備，由於靠近桶底的元素排名靠前，因此從桶底先撈
}
}
}
}
console.timeEnd('計數排序耗時');
return array;
};測試
const array = [3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48];
console.log('原始array:', array);
const newArr = radixSort(array, 2);
console.log('newArr:', newArr);
// 原始 array: [3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48]
// 堆排序耗時: 0.064208984375ms
// newArr: [2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50]分析
- 第一，基數排序是原地排序算法嗎 ？
因爲計數排序的空間複雜度爲 O(n + k)，所以不是原地排序算法。
- 第二，基數排序是穩定的排序算法嗎 ？
基數排序不改變相同元素之間的相對順序，因此它是穩定的排序算法。
- 第三，基數排序的時間複雜度是多少 ？
最佳情況：T(n) = O(n * k)
最差情況：T(n) = O(n * k)
平均情況：T(n) = O(n * k)
其中，k 是待排序列最大值。
動畫
LSD 基數排序動圖演示：
4. 複雜度對比
十大經典排序算法的 時間複雜度與空間複雜度 比較。
| 名稱 | 平均 | 最好 | 最壞 | 空間 | 穩定性 | 排序方式 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 冒泡排序 | O(n2) | O(n) | O(n2) | O(1) | Yes | In-place |
| 插入排序 | O(n2) | O(n) | O(n2) | O(1) | Yes | In-place |
| 選擇排序 | O(n2) | O(n2) | O(n2) | O(1) | No | In-place |
| 歸併排序 | O(n log n) | O(n log n) | O(n log n) | O(n) | Yes | Out-place |
| 快速排序 | O(n log n) | O(n log n) | O(n2) | O(logn) | No | In-place |
| 希爾排序 | O(n log n) | O(n log2 n) | O(n log2 n) | O(1) | No | In-place |
| 堆排序 | O(n log n) | O(n log n) | O(n log n) | O(1) | No | In-place |
| 桶排序 | O(n + k) | O(n + k) | O(n2) | O(n + k) | Yes | Out-place |
| 計數排序 | O(n + k) | O(n + k) | O(n + k) | O(k) | Yes | Out-place |
| 基數排序 | O(n * k) | O(n * k) | O(n * k) | O(n + k) | Yes | Out-place |
名詞解釋：
- n：數據規模；
- k：桶的個數；
- In-place: 佔用常數內存，不佔用額外內存；
- Out-place: 佔用額外內存。
5. 算法可視化工具
- 算法可視化工具 algorithm-visualizer
算法可視化工具 algorithm-visualizer 是一個交互式的在線平臺，可以從代碼中可視化算法，還可以看到代碼執行的過程。旨在通過交互式可視化的執行來揭示算法背後的機制。
效果如下圖：
- 算法可視化動畫網站 https://visualgo.net/en
效果如下圖：
- 算法可視化動畫網站 www.ee.ryerson.ca
效果如下圖：
變量和操作的可視化表示增強了控制流和實際源代碼。您可以快速前進和後退執行，以密切觀察算法的工作方式。
效果如下圖：
6. 系列文章
JavaScript 數據結構與算法之美 系列文章，暫時寫了如下的 11 篇文章，後續還有想寫的內容，再補充。
所寫的內容只是數據結構與算法內容的冰山一角，如果你還想學更多的內容，推薦學習王爭老師的 數據結構與算法之美。
從時間和空間複雜度、基礎數據結構到排序算法，文章的內容有一定的關聯性，所以閱讀時推薦按順序來閱讀，效果更佳。
- 1. JavaScript 數據結構與算法之美 - 時間和空間複雜度
- 2. JavaScript 數據結構與算法之美 - 線性表（數組、隊列、棧、鏈表）
- 3. JavaScript 數據結構與算法之美 - 實現一個前端路由，如何實現瀏覽器的前進與後退 ？
- 4. JavaScript 數據結構與算法之美 - 棧內存與堆內存 、淺拷貝與深拷貝
- 5. JavaScript 數據結構與算法之美 - 遞歸
- 6. JavaScript 數據結構與算法之美 - 非線性表（樹、堆）
- 7. JavaScript 數據結構與算法之美 - 冒泡排序、選擇排序、插入排序
- 8. JavaScript 數據結構與算法之美 - 歸併排序、快速排序、希爾排序、堆排序
- 9. JavaScript 數據結構與算法之美 - 計數排序、桶排序、基數排序
- 10. JavaScript 數據結構與算法之美 - 十大經典排序算法彙總
- 11. JavaScript 數據結構與算法之美 - 強烈推薦 GitHub 上值得前端學習的數據結構與算法項目
如果有錯誤或者不嚴謹的地方，請務必給予指正，以免誤人子弟，十分感謝。
7. 最後
文中所有的代碼及測試事例都已經放到我的 GitHub 上了。
筆者爲了寫好這系列的文章，花費了大量的業餘時間，邊學邊寫，邊寫邊修改，前後歷時差不多 2 個月，入門級的文章總算是寫完了。
如果你覺得有用或者喜歡，就點收藏，順便點個贊吧，你的支持是我最大的鼓勵 ！
