機器人走方格I

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題目描述

  有一個XxY的網格，一個機器人只能走格點且只能向右或向下走，要從左上角走到右下角。請設計一個算法，計算機器人有多少種走法。
  給定兩個正整數int x,int y，請返回機器人的走法數目。保證x＋y小於等於12。
測試樣例：

x、y：2 2
return：2

解題思路

  我們解題之前必須弄懂題目想要讓我們求什麼？需要注意什麼？在這道提上，我認爲最需要注意的話是只能走格點，這個代表的意思是，我們將x、y想象成爲一個一個的點，而不是一個小正方形。

當我們從左上角（x，y）要給右下角（1，1）走的時候，會有兩種情況：

• 向右走，即座標變爲（x，y-1）
• 向下走，即座標變爲（x-1，y）

在（x，y-1）時，也會有兩種情況：

• 向右走，即座標變爲（x， y-2）
• 向下走，即座標變爲（x-1，y-1）

以此類推：當我們走到（x， 1）時，就不能向右走了，即只有一種情況；同理，當我們走到（1，y）時，就不能向下走了，即只有一種情況。
  因此由動態規劃的思想：

• 狀態： 從（x，y）走到（1，1）的走法。
• 狀態轉移： f(x, y) = f(x-1, y) + f(x, y-1)
• 初始化： f(x, 1) = 1, f(1, y) = 1
• 返回結果： f(x, y)

在這裏爲了方便理解，我們舉兩個例子（2,2）（3,3）來推導一個這個過程：

import java.util.*;

public class Robot {
    public int countWays(int x, int y) {
        if(x == 1 || y == 1)
            return 1;
        return countWays(x-1, y) + countWays(x, y-1);
        
    }
}

由上面的圖解我們會發現遞歸的過程是無比的複雜，所以我們在思考，從（0,0）走到（x-1,y-1）在記錄每一次的數量到數組，使用時查表不就很簡單了。

import java.util.*;

public class Robot {
    public int countWays(int x, int y) {
        int[][] dp = new int[x][y];
        dp[0][0] = 0;
        // 處理以y=0的一列
        for(int i = 1; i < dp.length; i++){
            dp[i][0] = 1;
        }
        // 處理以x=0的一行
        for(int i = 1; i < dp[0].length; i++){
            dp[0][i] = 1;
        }
        // 處理中間模塊
        for(int i = 1; i < dp.length; i++){
            for(int j = 1; j < dp[i].length; j++){
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j];
            }
        }
        return dp[x-1][y-1];
    }
}

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