最近來一波基礎算法吧，掌握基礎原理方可行走天下。回溯法本質是用來搜索問題的解，典型地就是使用深度優先搜索，搜索路徑一般沿樹形結構進行，在搜索過程中，首先會判斷所搜索的樹結點是否包含問題的解，如果肯定不包含，則不再搜索以該結點爲根的樹結點，而向其祖先結點回溯；否則進入該子樹，繼續按深度優先策略搜索。
可能這麼說不是很容易懂，咱們來的實例吧，那就是經典的0-1揹包問題，關於這一問題後邊很多算法都會涉及到，咱們一點點深入～
我們還是使用典型的三揹包爲例，問題描述如下：設有三個揹包，其重量分別爲：16,15, 15；價值分別爲： 45，25，25；請選擇揹包，使其重量不超過30，但價值最大。
可以看出我們的約束條件爲總重量不超過30，目標是價值最大，那我們就可以使用回溯法的思想來求解：
每個揹包都可以被選擇中或者不選，理論上如果不加任何限制的話一共有八種可能（2×2×2），但我們在搜索的過程中要時刻注意總重量不可超過30 ，在這個基礎上使其總價值最大，於是我們可以從第一個揹包開始，先選中它，其重量是16，小於30，沒有問題，然後在選擇第二個揹包，其重量爲15，二者總重量爲31，超過30，所以不能選擇第二個揹包，同理第三個揹包也不能選，也就是說在選中第一個揹包的前提下，另外兩個揹包就都不能再選了，這是八種理論可能情況中的一種；以此類推，不選第一個揹包，在此基礎上選擇第二個揹包，總重量爲15，沒有問題，再選第三個，此時總重量爲30，也沒有問題；對照這兩種情況，前者總價值爲45，後者總價值爲50，當然，我們以上帝視角可以看出最大價值也就是50，但落實到具體的算法該如何全方位多角度深層次地解決這一問題呢？
我們來看一個完全二叉樹結構圖：
對於上述的揹包問題，在此二叉樹結構中可以簡單地理解爲：從A出發，往左子樹方向走說明選中了A，往右子樹方向走說明沒有選中A，即“左選右不選”，落實到上圖中就是1代表選中0代表未選中；我們上邊說道的第一種情況，即只選中第一個揹包的情況對應上圖的A->B->E->K；那這裏有朋友可能會問了爲啥二叉樹會有四層，不是一共三個揹包嘛，對的，因爲我們每一層所代表的揹包選與不選都得由下一層所決定，比如節點E代表第三個揹包，如果我們走到K就說明不選E，反之，若走到J則說明選中了E，因此三個揹包我們需要四層完全二叉樹，同理，若有N個揹包則需要N+1層。
當我們的搜索路徑到達K後，得到了一組值，即總重量爲16，總價值爲45，此時，由於已經到了樹的葉子結點，因此需要回溯直到根，再繼續進行後續的搜索，在後續搜索過程中，一方面要進行結點的判斷，另一方面，一旦得到了一個合符要求的價值，則與前一次搜索所得到的結果進行比較，如果比前一次搜索得到的值大，則取代，反之，繼續搜索直到整個樹搜索結束所得到的最大值即爲問題的解。
總的來說，上述的求解過程在程序實現過程中可以這樣來理解：我們把二叉樹的每一層看成是某一個物品。當我們選擇物品時總是從第一個物品開始進行選擇，可能選，也可能不選。如果選中，則從二叉樹的左邊子樹開始搜索，如果未選中，則從二叉樹的右邊子樹開始搜索。以此類推即可～
如果將每個物品的重量對應每一層的一個節點，在每次選擇每一個物品時進行重量的判斷，並記錄權值，則可決定是否應該繼續搜索下一層的子樹。
如果設物品的重量存放在W數組中, W[i]爲第i個物品的重量，P[i]表示第i個物品的價值。C表示揹包能夠承受的最大重量。cw表示當前物品的重量，cp表示當前物品的價值（稍微記憶一下這幾個符號量的意義）。在選中情況下（即搜索左子樹）執行下面的操作：
（ 1 ）首先判斷加上該物品重量後是否滿足最大重量不超過C的要求,如果不超過，則： cw+=w[i]; cp+=p[i]; 反之則搜索右子樹；
（ 2 ）繼續搜索下一層，執行相同的操作；
（ 3 ）當搜索到最後一層時，顯然可得到從根到該結點所選擇的所有物品的價值，如果該價值大於前一次得到的最大價值，則替代前一次的價值，反之，則不取代；
（ 4 ) 退回到上一層，即其雙親結點所在的一層，顯然此時應執行： cw-=w[i]; cp-=p[i];
執行上述語句的目的在於爲訪問右子樹做準備。在訪問右子樹時，顯然不需要計算其重量和價值，因爲右子樹表示未選中該物品
最後這幾步是我在一些資料中看到的...總感覺有問題,嘗試做了一些修改,還是有些彆扭,其實大家也可以理解,算法這東西變幻莫測,再基本的原理也可以有很多表現形式,可以進一步優化,我們不要以上帝視角看待這個過程,這樣會想當然地人爲進行條件約束;
後續算法會繼續優化,共同進步吧~~~~~~~~
本篇博文主要以文字爲主,可能看起來很迷,但對於算法大家一定要沉下心來去思考,這樣才能理解其原理,在此基礎上更進一步,優化算法,使其更加完美^^
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