【DP】笔记一
摘要
动态规划方法通常用来求解最优化问题(optimization problem).这类问题可以有很多可行解，每个解都有一个值，我们希望寻找具有最优值(最小值或最大值)的解。我们称这样的解为问题的一个最优解(an optimal solution),而不是最优解(the optimal solution),因为可能有多个解都达到最优值。
我们通常按照如下4个步骤来设计一个动态规划算法：
- 刻画一个最优解的结构特征。
- 递归地定义最优解的值。
- 计算最优解的值，通常采用自底向上的方法。
- 利用计算出的信息构造一个最优解。
上面这一段是从《算法导论》抄来的，做DP问题一般都会按照这个思路去搞。看起来很容易，但是我最怕的就是DP问题（当然，并不是其它问题不怕…），为了缓解一下这种心理阴影，准备把LeetCode里的DP问题刷完。DP不归路刚刚开始，遇到两个有阴影的问题，都是看完提示才搞定的，遂记之。
140 Word Break II
题目链接Word Break II。初看题目，就感觉子结构体不太好划分，后面果然是卡在这上面。先后试过几种算法。
1. 递归算法
好像DP的问题很容易就会套用递归算法去解。这题也不例外，因为最优子结构一直抽象不出来，所以先从递归 算法开始找感觉。传入字符串，从字典中查找，如果有匹配的词，则递归子串。很简单，当然，不出意外， TIME OUT.
2. 加上备忘
对于长的字符串，递归后的回溯检查，会有大量重复的计算。因此考虑，加上备忘，提高一下回溯的效率。在每次递归成功后，将当前的子串和字典的组合存下来，后续再次碰到同样的子串后，直接用对应的字典组合来生成结果。速度提升非常明显，直到遇到aaaaaaaaaaaabaabaaa…类似这种用例，就是重复的词重复出现，看到这个第一反应是KMP算法，但是KMP的使用场景是查找，明显不适用。这种情况因为备忘也会存很多，所以也会导致速度变很慢。显然用例是故意这么设计的，因为输出为空，用意就是检查遇到无法再继续匹配的情况，算法的处理。在这个地方卡住了，所以又换了个思路。这次绕不开DP了，就只能往DP的思路上去靠。（其实这两种算法在实现前我就预感到问题的存在，但是这并不值得骄傲啊。。。）对于重复子结构，我犯糊涂了，对于s[i,j]这种结构的抽象，总是得不到合理的方案，感觉距离成功只差一步。（哪一次卡壳不是呢，呵呵）直到看到了提示。。。
3. DP算法1
遍历输入字符串，在循环中，遍历字典，只有后向匹配成功，才从成功的位置进行组合，备忘就是到每个位置的字典组合。就是这么简单。。。不像之前考虑的[i,j]之间要怎样怎样，欲哭无泪啊。。。不过，依然TIME OUT，不要吃惊，原因跟上面的算法2一样，对于重复词的场景，虽然结果为空，但中间过程备忘太大，影响效率。到了这步，当然无须再看什么提示了。。。
4. DP算法2
算法框架如上，备忘换成匹配成功的位置；在算法完成后，再根据位置对结果进行组合。该算法很好的解决上面的问题，因为中间过程的备忘不需要拷贝。。。
174 Dungeon Game
题目链接Dungeon Game。初看该题的感觉，跟上题不太一样，就是感觉会比较曲折，但是应该能搞定的那种，谁知打脸来的太快。。。
1. 递归算法
对于我不能解决的DP问题，我是不惮以递归算法来解决的。。。两个分支，向下向右，然后TIME OUT。但是，这并不妨碍心理上会有某种自我安慰。。。
2. DP自顶向下
因为分支是固定的，只能向下和向右，所以，结构划分是确定的；问题在于最优解的定义。本题难点在于求解所有路径的最小生命初值的最小值。这一点对于递归算法不是问题，因为递归会遍历所有路径，并存下每条路径的最小生命初值，最终通过比较会得到一个最小值。但是DP自顶向下算法中，对于位置(i,j)的情况，在该位置可以获取从(0,0)到该位置的最小生命初值，但是由于需要继续往下计算，还需要记录路径的当前生命值（也就是从其实位置到该位置的累加值），那就存在一个问题，需要记录哪条路径的当前值？
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当前位置最小生命值的路径值？ NO，如果这都可以，那就是贪心了，本题当然不是
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记录所有路径的值？ NO， 如果这都可以，这还叫DP？
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当前位置最大的路径值？ NO，如果这都可以。。。
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记录最小生命值和最大路径值两条？ NO，原因就是1、3的原因
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记录当前位置到右侧和下侧的最小生命值？ NO， 原因跟1没啥区别，没有考虑到后续路径变化的动态过程。
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卡壳。。。
这题比上题更阴影，对递归算法都没法改进。。。
3. DP自底向上
看到提示后，第一反应是踢自己两脚，为啥自己没想到，然后才想为毛自底向上可以，自顶向下不行？（奇怪的人类） 本人水平有限，简单证明一下：
自底向上算法：求位置(i,j)处的最小生命值，只依赖(i+1, j) 和 (i, j + 1)两个位置的最小生命值以及(i,j)本身，所以递推(0,0)处的值也是可以按此方法求出的。
自顶向下算法：求位置(i,j)处的最小生命值，见上面的分析，依赖所有的路径，没有办法抽象出最优解。
可能感觉上面的证明跟没说一样，那就贴段自底向上算法最小生命值的求解方法，供意会。
if (i + 1 < dungeon.length) {
down = new Node();
down.cur = memo[i + 1][j].cur + dungeon[i][j];
if (memo[i + 1][j].cur_min >= 0) {
if (dungeon[i][j] < 0) {
down.cur_min = dungeon[i][j];
} else {
down.cur_min = down.cur;
}
} else {
down.cur_min = dungeon[i][j] + memo[i + 1][j].cur_min;
}
}
总结
例行总结时间：从174这道题目上看，自底向上和自顶向下对于算法还是很不一样的，这一点颠覆了我的认知，之前一直认为只是同一种算法的不同实现；140这道题目，说到底还是脑筋有点僵化，对于重复子结构的划分总是拘泥于[i,j]内循环遍历这种模式。好啦，DP不归之路长路漫漫，慢慢耍啦。。。