遞歸思想

什麼是遞歸呢？遞歸就是反覆調用自身函數，但是每次把問題範圍縮小，直到範圍縮小到可以直接得到邊界數據的結果，最後再在返回的路上得到相應的解。
遞歸的邏輯中有兩個重要的概念：

• 遞歸邊界，遞歸邊界用來返回最簡單底層的結果
• 遞歸式，也叫遞歸調用，遞歸式用來減少數據規模並向下一層遞歸

以下經典例子，求n！

#include<stdio.h>
int F(int n)
{
	if(n==1) 
		return 1;
	else return F(n-1)*n;
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	printf("%d\n",F(n));
	return 0;
}

求解斐波那契數列的第n項

#include<stdio.h>
int F(int n)
{
	if(n==0||n==1)
		return 1;
	else 
		return F(n-1)+F(n-2);
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	printf("%d\n,F(n));
	return 0;
}

全排列問題，即把1到這n個整數按某個順序擺放的結果稱爲這n個整數的一個排列，而全排列指n個整數能形成的所有排列

#include<cstdio>
const int maxn=15;
//D爲當前排列，hashtable記錄整數x是否已經在D中
int n,D[maxn],hashtable[maxn]={false};
//當前處理排序的第index位
void generateD(int index)
{
	if(index==n+1)//遞歸邊界，已經處理完排列的n+1位
	{
		for(int i=1;i<n;i++)
		{
			printf("%d",D[i]);//輸出當前排列
		}
		printf("\n");
		return;
	}
	for(int x=1;x<=n;x++)//枚舉1到n，試圖將x填入D[index]
	{
		if(hashtable[x]==false)//如果x不在D[0]到D[index-1]中
		{
			D[index]=x;//令D的第index位爲x，即把x加入當前排列
			hashtable[x]=true;//記錄x已在D中
			generateD(index+1);//處理已經排序結束的第index+1位
			hashtable[x]=false;//已經處理完D[index]爲x的子問題，還原狀態
		}
	}
}
int main()
{
	n=13;
	generateD(1);
	return 0;
}

n皇后問題，n皇后問題是在一個n*n的國際象棋棋盤上放置n個皇后，使得這n個皇后兩兩均不在同一行，同一列，同一條對角線上，求合法的方案數。
若採用組合數的方式來枚舉每一種情況（即從n^2個位置中選擇n個位置)，n=8時就是54502232次枚舉，當n很大時計算機可能無法算出，換個思路，考慮到每行只能放置一個皇后，每列也是，那麼如果將n列皇后所在的行號依次寫出，即爲1到n的一個排列，那麼只需要枚舉1到n的所有排列，然後統計其中合法的方案即可（某種意義上與數獨有相關性）
暴力法

#include<cstdio>
#include<cmath>
const int maxn=50;
int count=0,n,D[maxn],hashtable[maxn]={false};
void generateD(int index)
{
	if(index==n+1)
	{
		bool flag=true;//表示當前排列爲合法的一個方案
		for(int i=1;i<n;i++)//遍歷任意兩個皇后
		{
			for(int j=i+1;j<=n;j++)
			{
				if(abs(i-j)==abs(D[i]-D[j]))//如果在一條對角線上
				{
					flag=false;
				}
			}
		}
		if(flag)
			count++;//若當前方案合法，令count加一
		return;
	}
	for(int x=1;x<=n;x++)
	{
		if(hashtable[x]==false)
		{
			D[index]=x;
			hashtable[x]=true;
			generateD(index+1);
			hashtable[x]=false;
		}
	}
}
int main()
{
	n=9;
	generateD(1);
	printf("%d",count);
	return 0;
}