1：費馬小定理
我看好多博客在範圍方面沒有給清楚，我自己推了一下，給一個比較清晰的概念：
如果p是一個質數且a不是p的倍數，那麼a^（p-1）≡1（mod p）。
那麼如果p是一個質數，a是p的倍數呢？？大家可以手推一下！a=kp,(kp)^(p-1)%p=1%p;坐便等於0；右邊等於1；所以不成立，但是此時我們可以給一個統一式子！
對於質數p，任意整數a，均滿足：a^p≡a（mod p）
這個式子包含了所有情況！討論a是不是p的倍數。
1:假如不是，右邊不爲0，兩邊同時除以右邊，得到費馬小定理的最基本的式子；
2：假如是，右邊爲0，不可以同時除以a，a=kp,左右兩邊都等於0；
2：威爾遜定理
假如p爲素數，則（p-1）！≡-1（mod p）
關於證明點擊這裏，寫得還算清楚
但是有一個有趣的現象，威爾遜定理的逆也是正確的！
假如n>=2;如果（n-1）!≡-1(mod n) 那麼 n是素數！
3：歐拉定理
若正整數 a , n 互質，則 a^φ(n)≡1(mod n) 其中 φ(n) 是歐拉函數（1~n) 與 n 互質的數。
歐拉定理的推論：
若正整數a，n互質，那麼對於任意正整數b，有a^b≡a^(b mod φ（n）)（mod n）
更牛逼的來了
歐拉定理的拓展公式（公式這麼多，記住並不難，大家都是經歷過高考的）
當a,n不互質的時候，我們也有辦法對指數進行取模，簡化運算：
歐拉定理的擴展： a^b≡a^(bmodϕ(m)+ϕ(m))mod(m) b≥ϕ(m)
4：中國剩餘定理（孫子定理）
中國剩餘定理介紹
在《孫子算經》中有這樣一個問題：“今有物不知其數，三三數之剩二（除以3餘2），五五數之剩三（除以5餘3），七七數之剩二（除以7餘2），問物幾何？”這個問題稱爲“孫子問題”，該問題的一般解法國際上稱爲“中國剩餘定理”。
在《孫子歌訣》中給出瞭解決這個問題的解法：三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團圓正半月，除百零五便得知。很是朗朗上口，但這是什麼意思呢？
具體解法分三步：
找出三個數：
1.從3和5的公倍數中找出被7除餘1的最小數15，從3和7的公倍數中找出被5除餘1 的最小數21，最後從5和7的公倍數中找出除3餘1的最小數70。
2.用15乘以2（2爲最終結果除以7的餘數），用21乘以3（3爲最終結果除以5的餘數），同理，用70乘以2（2爲最終結果除以3的餘數），然後把三個乘積相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。
3.用233除以3，5，7三個數的最小公倍數105，得到餘數23，即233%105=23。這個餘數23就是符合條件的最小數。
就這麼簡單。我們在感嘆神奇的同時不禁想知道古人是如何想到這個方法的，有什麼基本的數學依據嗎？
用現代數學的語言來說明的話，中國剩餘定理給出了以下的一元線性同餘方程組：
有解的判定條件，並用構造法給出了在有解情況下解的具體形式。
中國剩餘定理說明：假設整數m1,m2, ... ,mn兩兩互質，則對任意的整數：a1,a2, ... ,an，方程組
設 
方程組
在模
模板是：
中國剩餘定理
有一個最小的數t
t%2=1
t%3=1
…
///不存在的話輸出-1
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[1000],b[1000];
ll Mod;
ll gcd(ll a, ll b)
{
if(b==0)
return a;
return gcd(b,a%b);
}
ll Extend_Euclid(ll a, ll b, ll&x, ll& y)
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
ll d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y);
ll t = x;
x = y;
y = t - a/b*y;
return d;
}
//a在模n乘法下的逆元，沒有則返回-1
ll inv(ll a, ll n)
{
ll x,y;
ll t = Extend_Euclid(a,n,x,y);
if(t != 1)
return -1;
return (x%n+n)%n;
}
//將兩個方程合併爲一個
bool merge(ll a1, ll n1, ll a2, ll n2, ll& a3, ll& n3)
{
ll d = gcd(n1,n2);
ll c = a2-a1;
if(c%d)
return false;
c = (c%n2+n2)%n2;
c /= d;
n1 /= d;
n2 /= d;
c *= inv(n1,n2);
c %= n2;
c *= n1*d;
c += a1;
n3 = n1*n2*d;
a3 = (c%n3+n3)%n3;
return true;
}
//求模線性方程組x=ai(mod ni),ni可以不互質
ll China_Reminder2(int len, ll* a, ll* n)
{
ll a1=a[0],n1=n[0];
ll a2,n2;
for(int i = 1; i < len; i++)
{
ll aa,nn;
a2 = a[i],n2=n[i];
if(!merge(a1,n1,a2,n2,aa,nn))
return -1;
a1 = aa;
n1 = nn;
}
Mod = n1;
return (a1%n1+n1)%n1;
}
int main()
{
int i;
int k;
while(scanf("%d",&k)!=EOF)
{
for(i = 0; i < k; i++)
scanf("%lld %lld",&a[i],&b[i]);
printf("%lld\n",China_Reminder2(k,b,a));
}
return 0;
}