生成函數

也許更好的閱讀體驗

一般生成函數(OGF)

引入

考慮一類組合對象組成的集合$A$，其中：

• 每個元素$a\in A$都被定義了“大小”$|a|$，它是一個非負整數。
• 對於給定的$n$，大小爲$n$的元素的數量是有限的，記作$A_n$

eg. $A$是全體$01$串組成的集合，一個$01$串的大小被定義爲它的長度則$A_n=2^n$

定義

$A\left( x\right) =\sum ^{\infty }_{i=0}A_ix^{i}$
爲$A$的一般生成函數
注意

• $A(x)$爲一個多項式
• 這裏的$A_i$爲第$i$項的 係數

這是一個形式冪級數，不用考慮何時收斂
這裏的$x^i$爲形式冪，無實義，一般也不會去求
但是$x^i$有區分實際意義的作用，即$x^i\rightarrow$第$i$項
$x^i$的係數爲第$i$種狀態的答案
這個不好說，舉個例子
eg.
$A$是全體$01$串組成的集合，則
$\begin{aligned}A\left( x\right) =\sum ^{\infty }_{i=0}2^{i}x^{i}\end{aligned}=\dfrac{1}{1-2x}$
最後一步是用的等比數列求和公式，不用考慮何時收斂，所以認爲其很大是趨近於0
其中$A_i=2^i$，表示長度爲$i$的答案爲$2^i$
$x^i$的係數就是長度爲$i$的答案，它是用於區分這個的

運算

有兩類組合對象$A$和$B$

• 定義$C$爲$A$和$B$的並集
  $C(x) =A(x) +B(x)，O(n)$計算
• 定義$D$爲$A$和$B$的笛卡爾積，也即$D$中每個元素$d$都是$A$中某元素$a$與$B$中某元素$b$拼成的二元組$(a,b)$，其大小$|d|$ 定義爲$|a|+|b|$
  $D(x) =A(x)B(x)$，$FFT$乘法$O(nlogn)$計算

eg:
$A$是全體$01$串組成的集合，$B$是全體字母組成的集合

$\begin{aligned}A\left( x\right) =\sum ^{\infty }_{i=0}2^{i}x^{i}\end{aligned}=\dfrac{1}{1-2x}$
$\begin{aligned}B\left( x\right) =\sum ^{\infty }_{i=0}26^{i}x^{i}\end{aligned}=\dfrac{1}{1-26x}$

$C(x)=A(x)+B(x)$，$C(x)$表示全體$01$串與全體字母的並集
$C(x)$中$x^i$項的係數表示長度爲$i$的$01$串與字符串有多少

$D(x)=A(x)B(x)$，$D(x)$表示$01$串與字符串拼接出的串（前面是$01$串，後面是字符串）
$D(x)$中$x^i$項的係數表示長度爲$i$的拼接出的串有多少
其中某串長度可以爲0

個人理解

我們發現上面的例題中的$D$如果我們不考慮多項式
自己暴力的去算，也有這樣的公式
$\begin{aligned}\sum_{i+j=n}a_ib_j\end{aligned}$
其中$a_i$表示長度爲$i$的$01$串有多少種，$b_j$表示長度爲$j$的字符串有多少種
然後我們可以發現長度$i+j$的答案會由$i$與$j$項得到，再發現其與指數乘法有相似之處，即$x^ix^j=x^{i+j}$，之後就想到將答案存爲其係數，$x^i$表示實際意義，於是就可以用多項式來解決問題，因爲多項式可以$FFT$優化，比暴力快很多
(我覺得生成函數可能就是這麼來的…)

---

指數生成函數(EGF)

引入

有時我們需要考慮帶標號的組合對象，比如圖
$n$個點的標號圖，頂點的標號恰好爲$1\sim n$

帶標號對象的拼接

將兩個對象$a;b$拼接起來，$|a|=n，|b|=m$

• 無標號時，只有一種方法
• 帶標號時，規定拼接時拼接對象內部相對標號順序不變，而互相的標號
  可以改變，則有$C_{n+m}^{n}(\begin{pmatrix} n+m \\ n \end{pmatrix})$種拼接方法
  因爲只要考慮前$a$中的$n$個用了哪些標號，剩下的$m$個給$b$中的$m$個，答案唯一，而對象內部相對標號順序不變，所以得到的標號如何分配也是唯一的
  eg.
  將$213,21$(每個數字是一個標號)拼接，有$10$種方法
  數字表示分配的標號
  $435,21|\ 425,31|\ 325,41|\ 324,51|\ 415,32$
  $315,42|\ 314,52|\ 215,43|\ 214,53|\ 213,54$
  如第一種方案$435$對應的$231$相對標號順序不變，$31$對應的$21$相對標號順序也不變

定義

對於帶標號組合對象組成的集合$A$，定義
$\begin{aligned}A\left( x\right) =\sum _{i= 0}^nA_{i}\dfrac {x^{i}}{i!}\end{aligned}$
爲$A$的指數生成函數

運算

有兩類組合對象$A$和$B$

• 定義$C$爲$A$和$B$的並集
  $C(x) =A(x) +B(x)，O(n)$計算
• 定義$D$爲$A$和$B$的笛卡爾積，也即$D$中每個元素$d$都是$A$中某元素$a$與$B$中某元素$b$拼成的二元組$(a,b)$，其大小$|d|$ 定義爲$|a|+|b|$
  $D(x) =A(x)B(x)$，$FFT$乘法$O(nlogn)$計算

沒錯，就是複製上面的內容
對於$D(x)$
$\begin{aligned}D(x)=\sum _{i+j=n}A_{i}B_{j}\dfrac {\left( i+j\right) !}{i!j!}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\dfrac {D(x)}{n!}=\sum _{i+j=n}\dfrac {Ai}{i!}\dfrac {B_{j}}{j!}\end{aligned}$
所以乘法運算成立

個人理解

如引入中的問題
用一般生成函數來求解
$\begin{aligned}D\left( x\right) =A\left( x\right) B\left( x\right) =\sum ^{n}_{i+j=n}A_{i}\cdot B_{j}\begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}\end{aligned}$
最後又化簡成

$\begin{aligned}\dfrac {D(x)}{n!}=\sum _{i+j=n}\dfrac {Ai}{i!}\dfrac {B_{j}}{j!}\end{aligned}$
於是我們就弄出一個指數生成函數方便運算且省去求組合數

以下$A$爲生成函數

生成序列(seq)

如字面意思，要生成一個序列
序列的順序是確定的
$\begin{aligned}seq\left( A\right) =\sum ^{\infty }_{i=0}Ai=\dfrac {1}{1-A}\end{aligned}$

生成集合(set)

如字面意思，要生成一個集合
集合的順序是無關緊要的，所以要除以全排列

$\begin{aligned}set\left( A\right) =\sum ^{\infty }_{i=0}\dfrac{A^i}{i!}=e^A\end{aligned}$

最後一步是因爲該式子符合$e^x$的泰勒展開
關於泰勒展開可看我的該篇博客泰勒公式於牛頓迭代

如有哪裏講得不是很明白或是有錯誤，歡迎指正
如您喜歡的話不妨點個贊收藏一下吧