仿射變換（Affine Transformation）原理及應用（1）

仿射變換（Affine Transformation）原理及應用

1 什麼是仿射變換

• 仿射變換（Affine Transformation）其實是另外兩種簡單變換的疊加：一個是線性變換，一個是平移變換

• 仿射變換變化包括縮放（Scale、平移(transform)、旋轉(rotate)、反射（reflection,對圖形照鏡子）、錯切(shear mapping，感覺像是一個圖形的倒影)，原來的直線仿射變換後還是直線，原來的平行線經過仿射變換之後還是平行線，這就是仿射

• 仿射變換中集合中的一些性質保持不變：
  （1）凸性
  （2）共線性：若幾個點變換前在一條線上，則仿射變換後仍然在一條線上
  （3）平行性：若兩條線變換前平行，則變換後仍然平行
  （4）共線比例不變性：變換前一條線上兩條線段的比例，在變換後比例不變

2 仿射變換數學表達

一個集合 XX 的仿射變換爲：
$f(x)=Ax+b, \quad x\in X$

仿射變換是二維平面中一種重要的變換，在圖像圖形領域有廣泛的應用，在二維圖像變換中，一般表達爲：
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} R_{00}&R_{01}&T_x \\ R_{10}&R_{11}&T_y \\ 0& 0& 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{bmatrix}$

可以視爲線性變換R和平移變換T的疊加

3 仿射變換理解

要熟練應用仿射變換，則需先理解仿射變換，說白了就是要弄清楚上面的R，T矩陣各個參數代表什麼含義，用圖像來表達：

3.1 平移變換

不難想象，就是將x，y平移指定值，則R矩陣爲單位矩陣，T矩陣爲指定值，如上圖中，第一行第二列圖
$M=\begin{bmatrix} 1&0&T_x \\ 0&1&T_y \\ 0& 0& 1 \\ \end{bmatrix}$

3.2 反射變換

見圖最後一行，如相對x軸放射，則x不變，y變爲相反號
$M=\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&-1&0 \\ 0& 0& 1 \\ \end{bmatrix}$

3.3 旋轉變換

關於旋轉矩陣，這裏詳細來看看，網上博客中，有朋友在疑惑旋轉矩陣中，$sin\theta$的負號位置問題，下面我談談我個人想法，若有錯誤請大家指點。爲簡單起見，只從一個點的旋轉來看

(1) 左下角爲座標原點

• 座標原點爲左下角
• 點$P(x,y)$爲座標系中一個點，與x軸的夾角爲$\alpha$，假設其到原點的距離爲1（方便計算）
• 點$P'(x',y')$爲P點逆時針旋轉$\theta$角度的點
• 點$P''(x'',y'')$爲P點順時針旋轉$\theta$角度的點

根據簡單三角關係，可知
$\begin{cases} x = cos\alpha\\ y = sin\alpha \end{cases}$
逆時針時：
$\begin{cases} x' = cos(\alpha + \theta) = cos\alpha * cos\theta - sin\alpha*sin\theta = x* cos\theta - y*sin\theta \\ y' = sin(\alpha + \theta) = sin\alpha * cos\theta + cos\alpha*sin\theta = y* cos\theta + x*sin\theta \end{cases}$
則，逆時針旋轉矩陣$R'$爲:
$R'= \begin{bmatrix} cos\theta&-sin\theta\\ sin\theta&cos\theta\\ \end{bmatrix}$

順時針時：
$\begin{cases} x'' = cos(\alpha - \theta) = cos\alpha * cos\theta + sin\alpha*sin\theta = x* cos\theta + y*sin\theta \\ y'' = sin(\alpha - \theta) = sin\alpha * cos\theta - cos\alpha*sin\theta = y* cos\theta - x*sin\theta \end{cases}$
則，順時針旋轉矩陣$R''$爲:
$R''= \begin{bmatrix} cos\theta&sin\theta\\ -sin\theta&cos\theta\\ \end{bmatrix}$

從上可以看出，這個負號位置問題，個人認爲與旋轉方向相關

（2）左上角爲座標原點

• 座標原點爲左上角
• 點$P(x,y)$爲座標系中一個點，與x軸的夾角爲$\alpha$，假設其到原點的距離爲1（方便計算）
• 點$P'(x',y')$爲P點逆時針旋轉$\theta$角度的點
• 點$P''(x'',y'')$爲P點順時針旋轉$\theta$角度的點

根據簡單三角關係，可知
$\begin{cases} x = cos\alpha\\ y = sin\alpha \end{cases}$
逆時針時：
$\begin{cases} x' = cos(\alpha - \theta) = cos\alpha * cos\theta + sin\alpha*sin\theta = x* cos\theta + y*sin\theta \\ y' = sin(\alpha - \theta) = sin\alpha * cos\theta - cos\alpha*sin\theta = y* cos\theta - x*sin\theta \end{cases}$
則，逆時針旋轉矩陣$R'$爲:
$R'= \begin{bmatrix} cos\theta&sin\theta\\ -sin\theta&cos\theta\\ \end{bmatrix}$

順時針時：
$\begin{cases} x'' = cos(\alpha + \theta) = cos\alpha * cos\theta - sin\alpha*sin\theta = x* cos\theta - y*sin\theta \\ y'' = sin(\alpha + \theta) = sin\alpha * cos\theta + cos\alpha*sin\theta = y* cos\theta + x*sin\theta \end{cases}$
則，順時針旋轉矩陣$R''$爲:
$R''= \begin{bmatrix} cos\theta&-sin\theta\\ sin\theta&cos\theta\\ \end{bmatrix}$

從上可以看出，這個負號位置問題，不但與旋轉方向有關，還與原點有關

（3）總結

• 旋轉矩陣R中，$sin\theta$的負號位置與旋轉方向和原點相關
• 當記逆時針爲正，左上角爲原點時（opencv默認），旋轉矩陣爲：
  $R= \begin{bmatrix} cos\theta&sin\theta\\ -sin\theta&cos\theta\\ \end{bmatrix}$

3.4 opencv中的仿射矩陣

getRotationMatrix2D函數

CV_EXPORTS_W Mat getRotationMatrix2D( Point2f center, double angle, double scale )

該函數是來計算仿射矩陣:

$\begin{bmatrix} \alpha & \beta & (1- \alpha ) \cdot \texttt{center.x} - \beta \cdot \texttt{center.y} \\ - \beta & \alpha & \beta \cdot \texttt{center.x} + (1- \alpha ) \cdot \texttt{center.y} \end{bmatrix}$

其中

$\begin{array}{l} \alpha = \texttt{scale} \cdot \cos \texttt{angle} , \\ \beta = \texttt{scale} \cdot \sin \texttt{angle} \end{array}$

• center：源圖旋轉中心

• angle： 旋轉角度，用角度表示；逆時針旋轉爲正（座標原點設爲左上角）

   Rotation angle in degrees. 
   Positive values mean counter-clockwise rotation (thecoordinate origin is assumed to be the top-left corner).
  

• scale：各向同比縮放因子

• 源碼

   	cv::Mat cv::getRotationMatrix2D( Point2f center, double angle, double scale )
   	{
   	    CV_INSTRUMENT_REGION();
   	
   	    angle *= CV_PI/180;
   	    double alpha = std::cos(angle)*scale;
   	    double beta = std::sin(angle)*scale;
   	
   	    Mat M(2, 3, CV_64F);
   	    double* m = M.ptr<double>();
   	
   	    m[0] = alpha;
   	    m[1] = beta;
   	    m[2] = (1-alpha)*center.x - beta*center.y;
   	    m[3] = -beta;
   	    m[4] = alpha;
   	    m[5] = beta*center.x + (1-alpha)*center.y;
   	
   	    return M;
   	}
  

• 矩陣由來：首先將軸心(x,y)移到原點，然後做旋轉縮放變換，最後再將圖像的左上角轉換爲原點
  $M= \begin{bmatrix} 1 & 0 &x \\ 0&1 & y\\ 0& 0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos\theta &sin\theta &0 \\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s & 0 & 0\\ 0&s & 0\\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -x\\ 0 & 1 &-y \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}$

4 參考文獻

[1]仿射變換詳解 warpAffine ：https://www.cnblogs.com/dupuleng/articles/4055020.html
[2]仿射變換（Affine transformation）: https://blog.csdn.net/robert_chen1988/article/details/80498805
[3]opencv學習(三十五)之仿射變換warpAffine: https://blog.csdn.net/keith_bb/article/details/56331356