偏置圓柱體相貫線的空間座標計算

兩個圓柱形管的相貫存在4種形式，正交、偏置、斜交和偏置斜交。

本文僅討論偏置情況下的計算方法。

建立如下座標系，圓柱1的軸線爲Z軸，圓柱2的軸線與Y軸平行，通過右手法則確定X軸，圓柱2的軸線在XOY平面上。圓柱1半徑爲a，圓柱2半徑爲b，圓柱2的軸線相較於Y軸偏移距離爲ΔX，其中b > a。

採用極座標系表示兩個圓柱面和法線矢量：

$\sum_1$： $x_1 = a\cos \theta$， $y_1 = a\sin \theta$，$z_1 = u$；
法向量：$n_{x1} = \cos \theta, n_{y1} = \sin \theta, n_{z1}=0$

$\sum_2$：$x_2 = \Delta x +b\cos \varphi$，$y_2 = v$，$z_2 = b \sin \varphi$
法向量：$n_{x2} = \cos \varphi, n_{y2} =0, n_{z2}= \sin \varphi$

相貫線同時位於兩個圓柱面上，即滿足
$x_1=x_2, y_1=y_2, z_1=z_2$

由於a, b, $\Delta x$爲已知，且a < b，則$\theta$的取值範圍爲（$0-2\pi$），根據需要的點距可以選擇不同的步長。

可解出相貫線的空間座標關於$\theta$的方程如下：

$x = a \cos \theta$
$y = a \sin \theta$
$z = \sqrt{b^2-(x-\Delta x)^2}$

用python實現如下：

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 圓柱1半徑：radius_1;  偏置距離：offset
# 圓柱2半徑：rasius_2; （直徑大）
# 點距： theta；（按弧度）

class IntersectingLine():
    def __init__(self):
        self.radius_1 = 8.0
        self.radius_2 = 30.0
        self.center_offset = 10.0
        self.step_theta = 0.04
	
	# 計算空間座標，保存在 ndarray中
    def calculate_coordinates(self, r1, r2, offset, theta):
        shape = ((int)(math.pi * 2 / theta), 3)
        coords = np.zeros(shape, dtype=float)
        for i in range(shape[0]):
            coords[i][0] = r1 * math.cos(i*theta)
            coords[i][1] = r1 * math.sin(i*theta)
            coords[i][2] = math.sqrt(r2*r2 - math.pow((coords[i][0] - offset), 2))
        return coords

    # 根據座標點繪製三維散點圖
    def plot_coordinates(self, coordinates):
        fig = plt.figure()
        ax = Axes3D(fig)
        ax.view_init(elev=45, azim=135)
        ax.scatter3D(coordinates[:,0], coordinates[:,1], coordinates[:,2], cmap='Blues')
        plt.show()

繪製結果如下：