徹底理解了迭代硬閾值IHT以後,很自然的會想到:如果將軟閾值(SoftThresholding)函數與Majorization-Minimization優化框架相結合形成迭代軟閾值(Iterative Soft Thresholding,IST)算法(另一種常見簡稱爲ISTA,即IterativeSoftThresholding Algorithm,另外Iterative有時也作Iterated),應該可以解決如下優化問題[1]:
此即基追蹤降噪(Basis Pursuit De-Noising, BPDN)問題。
1、迭代軟閾值算法流程
爲了解決優化問題(將原a換爲習慣的x)
執行迭代算法
其中Ψλ是對每一個數值計算軟閾值函數值
這個算法稱爲迭代軟閾值(Iterative Soft Thresholding,IST)算法。
2、迭代軟閾值算法推導
基追蹤降噪(Basis Pursuit De-Noising, BPDN)問題的目標函數
由於目標函數f(x)並不容易優化,根據Majorization-Minimization優化框架,可以優化替代目標函數
這裏要求||Φ||2<1,則有
下面,我們對替代目標函數進行變形化簡
其中,是與x無關的項;所以優化替代目標函數u(x,z)時,可以等價於優化
其中。看到這個問題熟悉麼?
對!這正是軟閾值(SoftThresholding)函數要解決的以下優化問題
對於標準的軟閾值(Soft Thresholding)函數來說,這個優化問題的解是
注意:這裏的B是一個向量,應該是逐個元素分別執行軟閾值函數;其中標準的軟閾值(SoftThresholding)函數是:
將符號換爲此處的優化問題
則解爲
注意:這裏的x*是一個向量,應該是逐個元素分別執行軟閾值函數;其中
然後我們根據Majorization-Minimization優化框架的流程進行迭代即可,注意z代表xn,即當前迭代值,而優化解soft(x*,λ)代表xn+1,用於下次迭代。
由於這個算法的整個過程相當於迭代執行軟閾值(SoftThresholding)函數,所以把它稱爲迭代軟閾值(Iterative Soft Thresholding)算法。
3、迭代軟閾值算法MATLAB代碼
在IST函數中,一共規定了三種IST跳出迭代的條件:第一個是重構結果經Phi變換後與原先y的差異,第二是最大迭代次數,第三個是重構結果x兩次相鄰迭代的差異。
以下爲2016-08-12更新版本V1.1,相比於原先的V1.0改動之處爲第1個跳出迭代循環的條件參考TwIST作了修改:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 | function [ x ] = IST_Basic( y,Phi,lambda,epsilon,loopmax ) % Detailed explanation goes here %Version: 1.0 written by jbb0523 @2016-08-09 %Version: 1.1 modified by jbb0523 @2016-08-12 if nargin < 5 loopmax = 10000; end if nargin < 4 epsilon = 1e-2; end if nargin < 3 lambda = 0.1* max ( abs (Phi'*y)); end [y_rows,y_columns] = size (y); if y_rows<y_columns y = y'; %y should be a column vector end soft = @(x,T) sign (x).* max ( abs (x) - T,0); n = size (Phi,2); x = zeros (n,1); %Initialize x=0 f = 0.5*(y-Phi*x)'*(y-Phi*x)+lambda* sum ( abs (x)); %added in v1.1 loop = 0; fprintf ( '\n' ); while 1 x_pre = x; x = soft(x + Phi'*(y-Phi*x),lambda); %update x loop = loop + 1; f_pre = f; %added in v1.1 f = 0.5*(y-Phi*x)'*(y-Phi*x)+lambda* sum ( abs (x)); %added in v1.1 if abs (f-f_pre)/f_pre<epsilon %modified in v1.1 fprintf ( 'abs(f-f_pre)/f_pre<%f\n' ,epsilon); fprintf ( 'IST loop is %d\n' ,loop); break ; end if loop >= loopmax fprintf ( 'loop > %d\n' ,loopmax); break ; end if norm (x-x_pre)<epsilon fprintf ( 'norm(x-x_pre)<%f\n' ,epsilon); fprintf ( 'IST loop is %d\n' ,loop); break ; end end end |
原先的V1.0版本:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 | function [ x ] = IST_Basic( y,Phi,lambda,epsilon,loopmax ) % Detailed explanation goes here %Version: 1.0 written by jbb0523 @2016-08-09 if nargin < 6 loopmax = 10000; end if nargin < 5 epsilon = 1e-6; end if nargin < 4 lambda = 0.1* max ( abs (Phi'*y)); end [y_rows,y_columns] = size (y); if y_rows<y_columns y = y'; %y should be a column vector end soft = @(x,T) sign (x).* max ( abs (x) - T,0); n = size (Phi,2); x = zeros (n,1); %Initialize x=0 loop = 0; fprintf ( '\n' ); while 1 x_pre = x; x = soft(x + Phi'*(y-Phi*x),lambda); %update x loop = loop + 1; if norm (y-Phi*x)<epsilon fprintf ( 'norm(y-Phi*x)<%f\n' ,epsilon); fprintf ( 'IST loop is %d\n' ,loop); break ; end if loop >= loopmax fprintf ( 'loop > %d\n' ,loopmax); break ; end if norm (x-x_pre)<epsilon fprintf ( 'norm(x-x_pre)<%f\n' ,epsilon); fprintf ( 'IST loop is %d\n' ,loop); break ; end end end |
該函數非常簡單,核心程序就一行,其它均爲配角,爲這一行服務的:
1 | x = soft(x + Phi'*(y-Phi*x),lambda); %update x |
4、迭代軟閾值算法測試
這裏首先按傳統的測試程序進行重構測試,這裏的λ取值參考了文獻【2】作者主頁給出的代碼裏的方法(可以自己試一下,這個值到底是1還是2其實影響不大):
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 | clear all ; close all ; clc ; M = 64; %觀測值個數 N = 256; %信號x的長度 K = 10; %信號x的稀疏度 Index_K = randperm (N); x = zeros (N,1); x(Index_K(1:K)) = 5* randn (K,1); %x爲K稀疏的,且位置是隨機的 %x(Index_K(1:K)) = sign(5*randn(K,1)); Phi = randn (M,N); %測量矩陣爲高斯矩陣 Phi = orth (Phi ')' ; sigma = 0.005; e = sigma* randn (M,1); y = Phi * x + e; %得到觀測向量y % y = Phi * x;%得到觀測向量y %% 恢復重構信號x tic % lamda = sigma*sqrt(2*log(N)); lamda = 0.1* max ( abs (Phi'*y)); fprintf ( '\nlamda = %f\n' ,lamda) %x_r = BPDN_quadprog(y,Phi,lamda); x_r = IST_Basic(y,Phi,lamda); toc %% 繪圖 figure ; plot (x_r, 'k.-' ); %繪出x的恢復信號 hold on; plot (x, 'r' ); %繪出原信號x hold off; legend ( 'Recovery' , 'Original' ) fprintf ( '\n恢復殘差:' ); fprintf ( '%f\n' , norm (x_r-x));%恢復殘差 |
運行結果如下:(信號爲隨機生成,所以每次結果均不一樣)
1)圖
2)CommandWindows:
lamda= 0.177639
norm(x-x_pre)<0.000001
ISTloop is 106
Elapsedtime is 0.008842 seconds.
恢復殘差:1.946232
從圖中可以看出,重構結果的位置基本都是正確的,但確比原始信號都要小一些,爲什麼呢?從Command Windows的輸出結果來看,IST迭代的106次,跳出迭代的條件是x在相鄰兩次迭代中基本不變了(norm(x-x_pre)<0.000001),也就是說最優點x已經基本不變了,若同樣執行使用MATLAB自帶的quadprog的基追蹤降噪BPDN_quadprog函數(參見壓縮感知重構算法之基追蹤降噪),重構結果是正常的,到底爲什麼本文的IST重構結果得不到近似的x呢?難道理論推導有問題?
直到看了文獻【2】中的Debiasing:
文中提到:“In many situations, itis worthwhile to debias the solution as a postprocessing step, to eliminate theattenuation of signal magnitude due to the presence of the regularization term.”,直譯過來就是“在很多場合,作爲一個後處理步驟對結果進行除偏(debias)是很值得的,用於消除由於正則項的存在對信號幅度造成的衰減”,讀到這裏就明白了,爲什麼本文的IST重構結果總是與真實的x幅度差一些呢?這是因爲IST求解的優化問題含有正則項(regularizationterm),即λ||x||1。直觀地來講,因爲目標函數中存在λ||x||1項,在最優化min時這個也要儘量的小,所以IST的恢復的結果比實際的x幅度要小一些(與參數λ有關)。解決這個問題的辦法就是對結果進行除偏(debias,注:有道詞典查不到此單詞,也沒看中文文獻是如何翻譯的,直接根據詞根琢磨了一下自己瞎翻譯的)。
如何除偏(debias)呢?接着來看:“Inthe debiasing step, we fix at zero those individual components or groups thatare zero at the end of the SpaRSA process, and minimize the objective over theremaining elements.”,翻譯一下就是“將SpaRSA重構結果中的爲零的項固定爲零,然後在剩除項上對目標函數進行最小化”,簡單一點說就是優化文中的式(27)(正好與本文IST解決的問題相同,後來會專門分析SpaRSA算法):
其中AI的含義更清晰的解釋如下:
若SpaRSA重構的x爲:
原來的矩陣A爲:
則AI等於原矩陣A只保留第3列(對應x中的元素a)和第5列(對應x中的元素b)的子矩陣:
文獻【2】後面繼續談到,若要求解式(27)可以使用共軛梯度法(Conjugate gradient)。實際上,式(27)的最優解爲最小二乘解(熟悉匹配追蹤系列算法的應該對這個很清楚,可參見壓縮感知中的數學知識:投影矩陣(projectionmatrix)),即
在SpaRSA算法中,作者給出的官方代碼裏包括了debias過程,由一個參數來控制是否對重構結果執行debias過程,這裏爲了簡單,就不修改IST函數了,直接在測試代碼中加入debias代碼:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 | clear all ; close all ; clc ; M = 64; %觀測值個數 N = 256; %信號x的長度 K = 10; %信號x的稀疏度 Index_K = randperm (N); x = zeros (N,1); x(Index_K(1:K)) = 5* randn (K,1); %x爲K稀疏的,且位置是隨機的 %x(Index_K(1:K)) = sign(5*randn(K,1)); Phi = randn (M,N); %測量矩陣爲高斯矩陣 Phi = orth (Phi ')' ; sigma = 0.005; e = sigma* randn (M,1); y = Phi * x + e; %得到觀測向量y % y = Phi * x;%得到觀測向量y %% 恢復重構信號x tic % lamda = sigma*sqrt(2*log(N)); lamda = 0.1* max ( abs (Phi'*y)); fprintf ( '\nlamda = %f\n' ,lamda) %x_r = BPDN_quadprog(y,Phi,lamda); x_r = IST_Basic(y,Phi,lamda); toc %Debias [xsorted inds] = sort ( abs (x_r), 'descend' ); AI = Phi(:,inds(xsorted(:)>1e-3)); xI = pinv (AI '*AI)*AI' *y; x_bias = zeros ( length (x),1); x_bias(inds(xsorted(:)>1e-3)) = xI; %% 繪圖 figure ; plot (x_r, 'k.-' ); %繪出x的恢復信號 hold on; plot (x, 'r' ); %繪出原信號x hold off; legend ( 'Recovery' , 'Original' ) fprintf ( '\n恢復殘差(original):' ); fprintf ( '%f\n' , norm (x_r-x));%恢復殘差 %Debias figure ; plot (x_bias, 'k.-' ); %繪出x的恢復信號 hold on; plot (x, 'r' ); %繪出原信號x hold off; legend ( 'Recovery-debise' , 'Original' ) fprintf ( '恢復殘差(debias):' ); fprintf ( '%f\n' , norm (x_bias-x));%恢復殘差 |
運行結果如下:(信號爲隨機生成,所以每次結果均不一樣)
1)圖:
第一幅圖(IST重構結果與原信號對比):
第二幅圖(對IST重構結果debias後的結果與原信號對比):
2)CommandWindows:
lamda = 0.405767
norm(x-x_pre)<0.000001
IST loop is 74
Elapsed time is 0.007175 seconds.
恢復殘差(original):3.736317
恢復殘差(debias):0.847947
從第二幅圖的結果來看,debias後的結果已與BPDN_quadprog函數結果(參見壓縮感知重構算法之基追蹤降噪)在同一個水平了。
值得注意的是,在求最小二乘解的公式裏包含矩陣求逆的過程,矩陣求逆在大規模(large scale)問題中是一個比較麻煩的問題,IST等迭代算法(包括IHTs等)本身相比於MP等算法的優勢即爲不含矩陣求逆,計算效率高,因此實際中求解文獻【2】的式(27)不應該直接採用如上包含矩陣求逆的方式,尤其是大規模問題,否則IST算法計算量小的優勢就沒有了,此處僅是爲了示範debias的效果。
5、結束語
值得注意的是,一般文獻中出現的IST或ISTA簡稱中的“S”並非指的是“soft”,而是“shrinkage”,即“IteratedShrinkage/ThresholdingAlgorithm”,至於“shrinkage”是什麼意思呢?我們還是先來看一下有道詞典吧:
那麼Iterative Soft Thresholding和Iterated Shrinkage/Thresholding有什麼區別呢?你要認爲它們是一樣的也沒問題,因爲從文獻中來看,很多作者的確是這麼認爲的;另外,還可以認爲Iterative Soft Thresholding是Iterated Shrinkage/Thresholding的一種特殊情況,即每次迭代時正好是求軟閾值函數時的特殊情況,而Iterated Shrinkage/Thresholding更是一種廣義的稱呼。
值得注意的是,本文參考文獻很少,且均是與IST“不相關”的,這是因爲沒有哪一種文獻明確提出IST,所以也不知道引用哪個了。
在下一篇中,我們從多篇文獻中來看一看究竟什麼是“Shrinkage”……
IST:Iterative Shrinkage/Thresholding和Iterative Soft Thresholding
6、參考文獻
【1】Chen S S, Donoho D L,Saunders M A.Atomic decomposition by basis pursuit[J]. SIAM review, 2001, 43(1): 129-159.
【2】WrightS J, Nowak R D, Figueiredo M A T. Sparse reconstruction by separable approximation.[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2009,57(7):3373-3376.