一些<<抽象代數>>的核心思想和實際應用(持續更新)
抽象代數是現代代數的基礎,以其晦澀和高度概括性而著稱,如果介紹一些它的實際應用和核心思想,會對大家學習有所裨益.本文的特點是形散(採自網絡)而神不散(主題明確).
核心思想
作者：Yuhang Liu
抽象代數其實起源於數論。很多重要的概念，比如環、理想，都來自於數論的研究。比如理想，一開始是數論學家研究費馬大定理的時候發現有些整環不是UFD，於是開始用素理想來代替素數，這樣在Dedekind domain理想的分解仍然滿足唯一因子分解，但是“數”（元素）本身分解成素因子乘積的方式則不一定唯一。學抽代的時候要多積累例子，比如數論裏面就有很多有趣的例子。
抽代一開始那些抽象的語言只不過是提供一個框架，某種意義上和集合論差不多，要掌握了足夠多的例子才能看到它的內容。
作者：匿名用戶
不要想的太玄，抽象代數是一個普通的概念系統，就像學習其他的概念一樣去學習即可。它的難點主要在於兩點：
- 內涵的抽象性
- 外延的非直觀性舉例而言：如何認識蘋果這個概念？
通過各種感官提取出蘋果的特徵如圓形，甜味，脆，紅色等等，再概括爲“蘋果”這個概念。這個過程不會讓人感到困難，在於：利用感官抽象出事物的特徵是我們的先天稟賦，是一個自動化的過程，意識不參與進來；
其次，蘋果作爲一個獨立概念，需要處理的工程量很小。而抽象代數作爲一個“人工”概念系統，
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其一，結構複雜，由大量的獨立概念複合而成，在瞭解所有部分之前很難對整體有直觀印象，所以需要大量例子幫學習者從多個不同角度和層次去“觀察”這個系統的成分和結構，這是學習任何一個學科都會遇到的；
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其二，抽象代數系統的刻畫是由高度專業化的數學語言實現的，人類的感覺系統所起作用不大，必須要調動意識層面的處理，也就是思考，而思考是毫無水分的“體力活”，就像爬山，路徑或許不同，但都是實打實的功夫，不要抱偷懶的心理。
作者：樂文好墨
如果說Newton時代創造的微積分是用函數的觀點了解世界，那麼以Galois爲代表的近世代數則是以結構的觀點去剖析萬物。所以近世代數一定要儘早學！要說近世代數的用途，那真是多了去了。但你要問本科階段學的代數有啥用，那麼只能說，它給你另一種世界觀，培養你跳出計算，分析結構的技能。
作者: zyearn
對於一個羣，我們已經知道它的一少部分信息，就如同一個黑匣子，我們大概知道它的一些表面信息。要掌握它的內部結構，就要用羣在集合上的作用這一“X光”，底片就是羣所作用的集合。通過分析解讀羣在集合上的作用的效果，也就是透射出來的“膠片”，來獲取羣的內部信息。當然這個集合不能是隨便哪個集合都可以的，要利用已知的信息，構造一個合適的集合，以及羣在這一集合上的某個合適的作用。如果你掌握了這種思想，就可以隨時推導出Sylow定理的證明來。
作者：strongart
有的人總是想借助直觀來理解抽象，但這對抽象代數的入門卻是一個妨礙。還有回憶學習普通代數的情形，如果在學習普通代數的時候固執於用數值檢驗未知數，並不能讓你真正領會的精神，只有直接用來進行運算，才能在此基礎上領會高級的直觀。
抽象代數的學習也需要領會相應的高級直觀，這裏的直觀重在代數的結構，因此初學者就應該特別注意那些關於結構的定理。
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第一個結構定理大概就是同態基本定理，由此可以更加深刻的理解商羣。
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此後，一個非常自然的結構定理就是有限Abel結構定理，如果你能夠依據此定理確定任意Abel羣的結構，那麼可以說你基本上已經算是入門了。
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此後，就可以考慮對付非Abel羣的武器，最初級的武器是共軛類，由此衍生出正規子羣的概念。
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而更加深刻的武器則是Sylow定理。僅僅作爲入門的話，能理解Sylow定理也應該算是足夠了。
只要能把注意把握結構，抽象代數的入門應該不是太困難，我甚至提議數學專業課是不是可以一開始就羣論講起，這可以促使學生儘早完成代數思維的轉變。只要走過了這道門檻，後面還有更加豐富多彩的內容等着你們呢！
作者：馬同學
運算不止加減乘除，數學學到後面就多了很多抽象運算。甚至從集合和運算的角度來看，學數學的過程很多時候就是在不斷的擴大對集合和運算的認知。理解的集合和運算越多，相關領域的數學基本上也就理解了。其中有種特殊的集合+運算就是羣。
簡單來說，羣的作用是描述對稱。什麼叫對稱？我們來看看：正方形對稱嗎?物理定律對稱嗎？多項式的根對稱嗎？
上面的問題的答案都是：對稱！對稱就是：“某種操作下的不變性”，關鍵字是兩個：“操作”和“不變性”，要說明這點讓我們通過上面的三個問題來理解。
作者：匡世珉
說好的『結構』呢:
那如果我告訴你羣其實長這樣呢(Cayley圖)：
描繪的是羣同構第一基本定理:
實際應用
作者：TomHall
有人在用haskell寫一個機器學習庫的時候發現，因爲樸素貝葉斯在不同樣本點上訓練出來的模型構成了一個羣，可以很容易地定義加法運算合併起來，免去了重複訓練的需求。於是在做k-fold cross validation的時候只需要在每一折上單獨訓練，從而把複雜度從O(kn)降低爲O(n)。如果能發現其他模型有類似的代數性質，也可以使用同樣的方法降低cv的開銷。
作者：chris
抽象代數教會了你從同態,同構的角度去看待問題,特別是同態的思想,你看實分析中的幾乎處處收斂,微分幾何中的切矢,餘切,都是通過同態和同構這兩個強大的工具構造出來的
其他具體應用可能就是物理了,特別是李羣在量子力學,中可謂是大範圍的使用