高等數學 —— 數列的極限

一.數列極限的定義

數列

如果按照某一法則，對每個$n \in N$,對應着一個確定的實數$x_n$,這些實數$x_n$按照下標$n$從小到大排列得到的一個序列

$x_1,x_2,x_4,···,x_n,···$

就叫做數列，簡記爲數列$\{x_n\}$.
數列中的每一個數叫做數列的項,第$n$項$x_n$叫做數列的一般項(或通項)

在幾何上，數列$\{x_n\}$可看作數軸上的一個動點，它依次取數軸上的點$x_1,x_2,x_4,···,x_n,···$(如下圖)

數列$\{x_n\}$可看作自變量爲正整數$n$的函數

$x_n = f{n}, n \in N_+$
當自變量$n$依次取1,2,3,···一切正整數時,對應的函數值就排列成數列$\{x_n\}$

數列的極限

一般地，有如下數列極限的定義:
定義 設$\{x_n\}$爲一數列，如果存在常數$a$,對於任意給定的正數$\varepsilon$(不論它多麼小)，總存在正整數$N$,使得當$n > N$時，不等式

$|x_n - a| < \varepsilon$

都成立，那麼就稱常數$a$是數列$\{x_n\}$的極限，或者稱數列$\{x_n\}$收斂於$a$,記爲

$\lim\limits_{n \to \infty}x_n = a$

或

$x_n \rightarrow a(n \rightarrow \infty)$

如果不存在這樣的常數$a$,就說數列$\{x_n\}$沒有極限，或者說數列$\{x_n\}$是發散的，習慣上也說$\lim\limits_{n \to \infty}x_n$不存在

數列極限$\lim\limits_{n \to \infty}x_n = a$的定義可表達爲

$\lim\limits_{n \to \infty}x_n = a \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0,\exists 正整數 N,當 n > N時,有|x_n - a| < \varepsilon$

二.收斂數列的性質

定理1(極限的唯一性) $\;$如果數列$\{x_n\}$收斂，那麼它的極限唯一

定理2(收斂數列的有界性) $\;$ 如果數列$\{x_n\}$收斂，那麼數列$\{x_n\}$一定有界

定理3(收斂數列的保號性) $\;$ 如果$\lim\limits_{n \to \infty}x_n = a$,且$a > 0$(或$a < 0$),那麼存在正整數$N$,當$n > N$時，都有$x_n > 0$(或$x_n < 0$)

推論 $\;$ 如果數列$\{x_n\}$從某項起有$x \geq 0$ (或 $x \leq 0$)，且$\lim\limits_{n \to \infty}x_n = a$，那麼$a \geq 0$(或$a \leq 0$)

定理4(收斂數列與其子數列間的關係) $\;$ 如果數列$\{x_n\}$收斂於$a$，那麼它的任一子數列也收斂，且極限也是$a$