【矩阵乘法】Fibonacci第n项

题目描述

大家都知道Fibonacci数列吧，f[1]=1,f[2]=1,f[3]=2,f[4]=3.......也就是f[n]=f[n-1]+f[n-2]。现在，问题很简单，输入n和m，求第n项取模m。

输入

输入n，m。

1<=n<=2 000 000 000 。

1<=m<=1 000 000 010 。

输出

输出第n项取模m

样例输入

5 1000

样例输出

5

题解

这题是因为数据量很大，到了后面数组就没有办法保存斐波那契数了

因为f[i]=f[i-1]+f[i-2] ，f[i-1]=f[i-1]，所以f[i]=1*f[i-1]+1*f[i-2] ，f[i-1]=1*f[i-1]+0*f[i-2]，矩阵形式就是

然后递推，简化之后。

所以f[i]就对应着最后结果的1*2矩阵的上面那个数。然后程序中的mul函数对应的是求的部分，f[2],f[1]都=1，所以(f[2],f[1])T用结构体start来表示，然后就是正常的乘啦，然后取模的时候可以用到快速幂。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long 
ll n,mod;
struct mat
{
	ll x[3][3];
	mat()//构造函数初始化数组
	{
		memset(x,0,sizeof(x));
	}
};
mat model;
mat mul(mat a,mat b)
{
	mat c;
	for(int i=1;i<=2;i++)
		for(int j=1;j<=2;j++)
			for(int k=1;k<=2;k++)
			{
				c.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j];
				c.x[i][j]%=mod;
			}
	return c;
}
mat mul1(mat a,mat b,int n,int m,int p)
{
	mat c;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=p;j++)
			for(int k=1;k<=m;k++)
			{
				c.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j];
				c.x[i][j]%=mod;
			}
	return c;
}
mat mi(int n)//快速幂
{
	if(n==1)
		return model;
	mat t=mi(n/2);
	if(n%2==1)
		return mul(mul(t,t),model);
	else
		return mul(t,t);
}
int main()
{
	cin>>n>>mod;
	model.x[1][1]=1;
	model.x[1][2]=1;
	model.x[2][1]=1;
	mat result,start;
	start.x[1][1]=1;//斐波那契的第1、2项都是1
	start.x[2][1]=1;
	result=mul1(mi(n-2),start,2,2,1);//2*2大小的矩阵和2*1大小的矩阵
	cout<<result.x[1][1]%mod;
}