反射係數、阻抗與史密斯(Smith)圓圖之間的關係

    我們已經知道一個二端口S參數的具體含義:

S11表示在端口2端接匹配情況下,端口1的反射係數;

S21表示在端口2端接匹配情況下,端口1到端口2的正向傳輸係數;

S22表示在端口1端接匹配情況下,端口2的反射係數;

S12表示在端口1端接匹配情況下,端口2到端口1的反向傳輸係數;

    已知要使信號源傳送到負載的功率最大,信號源阻抗必須等於負載的共軛阻抗,即

RS+jXS = RL-jXL

 

    在這個條件下,從信號源到負載傳輸的能量最大。另外,爲有效傳輸功率,滿足這個條件可以避免能量從負載反射到信號源,尤其是在諸如視頻傳輸、RF或微波網絡的高頻應用環境更是如此。

1、反射係數定義

    在物理學和電機工程學中,反射係數是一個描述在傳輸介質中因爲阻抗的不連續造成有多少電磁波被反射的參數。它等於反射波與入射波的振幅比,兩者也可以相量表示。

    反射係數定義爲反射波電壓與入射波電壓之比:

    負載反射信號的強度取決於信號源阻抗與負載阻抗的失配程度。反射係數的表達式定義爲:

    上圖由於阻抗是複數,反射係數也是複數。注意到負的反射係數意味着反射波接受到 180°,或者說π的相移。

    反射係數的絕對值(用豎線標明)可以用駐波比(SWR)計算,電壓駐波比(Voltage Standing Wave Ration,簡稱SWR): 波腹電壓/波節電壓。振幅爲零的點稱爲節點或波節(英語:Node),振幅最大的點位於兩節點之間,稱爲腹點或波腹(英語:Antinode)。

2、史密斯(Smith)圓圖

    史密斯圓圖是由很多圓周交織在一起的一個圖。正確的使用它,可以在不作任何計算的前提下得到一個表面上看非常複雜的系統的匹配阻抗,唯一需要作的就是沿着圓周線讀取並跟蹤數據。

    史密斯圓圖是反射係數(伽馬,以符號Γ表示)的極座標圖。反射係數也可以從數學上定義爲單端口散射參數,即S11。

    史密斯圓圖是通過驗證阻抗匹配的負載產生的。這裏我們不直接考慮阻抗,而是用反射係數ΓL,反射係數可以反映負載的特性(如導納、增益、跨導),在處理RF頻率的問題時ΓL更加有用。

3、由反射係數求阻抗

    爲了減少未知參數的數量,可以固化一個經常出現並且在應用中經常使用的參數。這裏Z0 (特性阻抗)通常爲常數並且是實數,是常用的歸一化標準值,如50Ω、75Ω、100Ω和600Ω。於是我們可以定義歸一化的負載阻抗:

    據此,將反射係數的公式重新寫爲:

    從上式我們可以看到負載阻抗與其反射係數間的直接關係。但是這個關係式是一個複數,所以並不實用。我們可以把史密斯圓圖當作上述方程的圖形表示。

    爲了建立圓圖,方程必需重新整理以符合標準幾何圖形的形式(如圓或射線)。

    首先,由方程2.3求解出;

    並且

    令等式 2.5 的實部和虛部相等,得到兩個獨立的關係式:

4、反射係數表示在史密斯圓圖

    重新整理等式 2.6,經過等式 2.8 至 2.13 得到最終的方程 2.14。這個方程是在複平面(Γr, Γi)、圓的參數方程(x - a)² + (y - b)² = R²,它以[r/(r + 1), 0]爲圓心,半徑爲1/(1 + r)。

    更多細節如下圖:

    圓周上的點表示具有相同實部的阻抗。例如,r = 1的圓,以(0.5, 0)爲圓心,半徑爲0.5。它包含了代表反射零點的原點(0, 0) (負載與特性阻抗相匹配)。以(0, 0)爲圓心、半徑爲1的圓代表負載短路。負載開路時,圓退化爲一個點(以1, 0爲圓心,半徑爲零)。與此對應的是最大的反射係數1,即所有的入射波都被反射回來。

在作史密斯圓圖時,有一些需要注意的問題。下面是最重要的幾個方面:

  • 所有的圓周只有一個相同的,唯一的交點(1, 0)。

  • 代表0Ω、也就是沒有電阻(r = 0)的圓是最大的圓。

  • 無限大的電阻對應的圓退化爲一個點(1, 0)

  • 實際中沒有負的電阻,如果出現負阻值,有可能產生振盪。

  • 選擇一個對應於新電阻值的圓周就等於選擇了一個新的電阻。

5、阻抗表示在史密斯圓圖

    經過等式2.15至2.18的變換,2.7式可以推導出另一個參數方程,方程2.19。

    同樣,2.19也是在複平面(Γr, Γi)上的圓的參數方程(x - a)² + (y - b)² = R²,它的圓心爲(1, 1/x),半徑1/x。

    更多細節如下圖:

    圓周上的點表示具有相同虛部 x 的阻抗。例如, × = 1 的圓以 (1, 1) 爲圓心,半徑爲 1 。所有的圓 (x 爲常數 ) 都包括點 (1, 0) 。與實部圓周不同的是, x 既可以是正數也可以是負數。這說明複平面下半部是其上半部的鏡像。所有圓的圓心都在一條經過橫軸上 1 點的垂直線上。

6、完成圓圖

    爲了完成史密斯圓圖,我們將兩簇圓周放在一起。可以發現一簇圓周的所有圓會與另一簇圓周的所有圓相交。若已知阻抗爲 r + jx,只需要找到對應於 r 和 x 的兩個圓周的交點就可以得到相應的反射係數。

    上述過程是可逆的,如果已知反射係數,可以找到兩個圓周的交點從而讀取相應的 r 和×的值。過程如下:

  • 確定阻抗在史密斯圓圖上的對應點

  • 找到與此阻抗對應的反射係數(Γ)

  • 已知特性阻抗和Γ,找出阻抗

  • 將阻抗轉換爲導納

  • 找出等效的阻抗

  • 找出與反射係數對應的元件值(尤其是匹配網絡的元件)

7、舉例

    因爲史密斯圓圖是一種基於圖形的解法,所得結果的精確度直接依賴於圖形的精度。下面是一個用史密斯圓圖表示的RF應用實例:

例: 已知特性阻抗爲50Ω,負載阻抗如下:

對上面的值進行歸一化並標示在圓圖中,如下圖(點擊看大圖)

    現在可以通過上面的圓圖直接解出反射係數Γ。畫出阻抗點(等阻抗圓和等電抗圓的交點),只要讀出它們在直角座標水平軸和垂直軸上的投影,就得到了反射係數的實部Γr和虛部Γi (如下圖)。

    該範例中可能存在八種情況,在下圖所示史密斯圓圖上可以直接得到對應的反射係數Γ:

    從X-Y軸直接讀出反射係數Γ的實部和虛部

8、總結

    在擁有功能強大的軟件和高速、高性能計算機的今天,人們會懷疑在解決電路基本問題的時候是否還需要這樣一種基礎和初級的方法。

    實際上,一個真正的工程師不僅應該擁有理論知識,更應該具有利用各種資源解決問題的能力。在程序中加入幾個數字然後得出結果的確是件容易的事情,當問題的 解十分複雜、並且不唯一時,讓計算機作這樣的工作尤其方便。然而,如果能夠理解計算機的工作平臺所使用的基本理論和原理,知道它們的由來,這樣的工程師或 設計者就能夠成爲更加全面和值得信賴的專家,得到的結果也更加可靠。

附:反射係數、回波損耗、S11、駐波比對照表

    反射係數(ρ)= 反射電壓/入射電壓(假定結果取模爲標量ρ);

    回波損耗(Return Loss,簡稱RL)= 入射功率/反射功率, 單位爲dB數值;

    S11表示在端口2端接匹配情況下,端口1的反射係數(假定單位爲dB數值);

    駐波比(SWR)=波腹電壓/波節電壓;

四者的關係如下:

    S11 = 20lg(ρ);

    RL = -S11 = -20lg(ρ);

    SWR = (1+|ρ|)/(1-|ρ|);

    ρ = (SWR-1)/(SWR+1);

附:網絡基本參數

(一)反射參數

(二)傳輸參數

 

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