目錄
一.題目
題目描述
大約30年前，年輕的Krešo首次參加了全國信息學競賽。與今天相似的，比賽的開幕都是由一系列演講者組成，他們試圖通過演講激勵參加者們並展現競賽的重要性。觀衆們熱情地每隔幾秒鐘鼓掌一次，但Krešo被其中一位發言者的一句話激怒了，因爲這位發言者聲稱他更讚賞邏輯運算而非邏輯運算，因爲無論獲勝者是誰，Mirko和Slavko都會是這次競賽的獲勝者，而不是Mirko或Slavko。Krešo這時站起來，開始向大家解釋一種名爲“異或”的東西。在他的演講結束後，他給尊敬的演講者佈置了這樣一個任務來驗證他的解釋。
存在由n個節點組成的樹，其中每個節點分配一個值，這個樹上的路徑值定義爲這條路所有節點的值的異或。你的任務是確定樹上所有路徑的值的總和（這裏的路徑包括只有一個節點的路徑）。
30年後，Krešo終於說服COCI的出題人將這個任務納入其中一環，讓我們恢復Krešo對編程競賽未來的信心。
輸入格式
第一行包含正整數n（1≤n≤100000），表示這棵樹上的節點數。
第二行包含n個數字vi（0≤vi≤3000000）第i個數字表示第i個節點的價值。
接下來n-1行，每行輸入兩個數字aj和bj（1≤aj，bj≤n），表示在節點aj和bj之間有一條邊。
輸出格式
輸出一個數，表示這棵樹的價值。
樣例輸入
5
2 3 4 2 1
1 2
1 3
3 4
3 5
樣例輸出
64
二.題解
這道題我考試的時候沒有想出來，簡直蒟蒻。
他們都說是點分制+樹的重心，但我就是不會打，在網上終於找到了樹形DP的做法，蒟蒻在這裏複述一下。
首先，要定義一個DP數組，怎麼定義呢？這就要看題目了。
題目要求我們求所有路徑的異或和，所以dp的第一維我們定義以i爲根的子樹，然後第二三位就是第j位爲1或0的方案數，再者2^22剛好大於v[i]的最大值，j<=22。
那麼dp[i][j][k]就表示：以i爲根的子樹內有多少條路徑的異或和的第j位爲k(0/1)。（大家感性理解一下）
怎麼轉移呢，當然是從他的子樹轉移過來了。
下面是我的樹形DP。
void Tree_dp (int x, int fa){
for (int i = 0; i <= 22; i ++)//預處理v[x]本身的二進制的每一位是否爲1/0.
dp[x][i][((v[x] >> i) & 1)] ++;
for (int i = 0; i < G[x].size (); i ++){
int u = G[x][i];
if (fa != u){
Tree_dp (u, x);
for (int j = 0; j <= 22; j ++){
ans += (dp[x][j][0] * dp[u][j][1] + dp[u][j][0] * dp[x][j][1]) * (1 << j);
//這裏十分令人費解，其實他就是想要把每條路徑的每一位分開算，
//所以在二進制意義下要把這一位擴大1<<j倍才能把這一位還原到原來的位置
if (((v[x] >> j) & 1))//如果v[x]的第j位爲1異或起來之後就能把1變成0，把0變成1
dp[x][j][0] += dp[u][j][1], dp[x][j][1] += dp[u][j][0];
else
dp[x][j][0] += dp[u][j][0], dp[x][j][1] += dp[u][j][1];
}
}
}
}
大家可能有不理解的地方，我寫了註釋。
大家意會意會。
三.Code
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
#define LL long long
#define M 100005
vector <int> G[M];
int n;
LL v[M], dp[M][25][2], ans;
void Tree_dp (int x, int fa){
for (int i = 0; i <= 22; i ++)
dp[x][i][((v[x] >> i) & 1)] ++;
for (int i = 0; i < G[x].size (); i ++){
int u = G[x][i];
if (fa != u){
Tree_dp (u, x);
for (int j = 0; j <= 22; j ++){
ans += (dp[x][j][0] * dp[u][j][1] + dp[u][j][0] * dp[x][j][1]) * (1 << j);
if (((v[x] >> j) & 1))
dp[x][j][0] += dp[u][j][1], dp[x][j][1] += dp[u][j][0];
else
dp[x][j][0] += dp[u][j][0], dp[x][j][1] += dp[u][j][1];
}
}
}
}
int main (){
scanf ("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i ++){
scanf ("%lld", &v[i]);
ans += v[i];
}
int u, v;
for (int i = 1; i < n; i ++){
scanf ("%d %d", &u, &v);
G[u].push_back (v);
G[v].push_back (u);
}
Tree_dp (1, 0);
printf ("%lld\n", ans);
return 0;
}