置換羣

置換就是把n個元素做一個全排列。比如1， 2，3，4分別變成3，1，2，4，或者分別變成4，3，2，1。一般地，1變a1,2變a2,...的置換記爲

置換實際上就是一一映射。在程序上，可以用一個數組f={a1,a2,...,an}來表示1~n的一個置換，其中f[i]表示元素i所映射到的數。這個f也可以看成是定義域和值域爲{1，2，3，...，n}的函數，其中f(1) = a1, f(2）= a2, ... f(n) = an。由於不同的元素映射到不同的數，這個函數是可逆的。

置換之間定義乘法，對應於函數複合。比如置換f={1, 3,2} 和 g = {2, 1, 3},乘積fg = {2, 3, 1},因爲各個元素的變化爲1到1到2，2到3到3，3到2到1.在數學上函數複合總是滿足結合律，所以置乘法也滿足結合律，但是不滿足交換律。

爲了處理方便，常常把置換分解成循環的乘積，其中每個循環代表一些元素循環移位。

任意置換都可以這樣分解，我們把每個元素看成一個結點，如果a變成b，連一條有向邊a到b，則每個元素恰好有一個後繼結點和一個前驅結點。借用圖論中的術語就是每個點的出度和入度均爲1。不難發現，這樣的圖只能是若干個有向圈，其中每個圈對應一個循環。

任取一個元素，順着有向邊走，最終一定會走成一個環，然後換一個沒被訪問過的元素如法炮製，直到所有元素都被訪問過。

等價計數問題

給2×2方格中塗黑白兩色，有幾種方法？16種

如果規定逆時針旋轉90度，180度，270度後相同的方案算一種，那麼答案就變成6種

這樣的問題稱爲等價計數問題。也就是說題目會定義一種等價關係，滿足等價關係的元素看成同一類，只統計一次。

自反性：每個元素和他自身等價

對稱性：如果A和B等價，則B和A等價

傳遞性：如果A和B等價，B和C等價，則A和C等價

Burnside引理：

對於一個置換f，若一個着色方案s經過置換後不變，稱s爲f的不動點。將f的不動點數目記爲C(f)，則可以證明等價類數目爲所有C(f)的平均值。

逆時針旋轉0度

p1 = (1)(2)...(16) 不動點的個數爲16個

逆時針旋轉90度

p2 = (1)(2)(3 4 5 6)(7 8 9 10)(11 12)(13 14 15 16) 不動點的個數爲2個

逆時針旋轉180度

p3 = (1)(2)(3 5)(4 6)(7 9)(8 10)(11)(12)(13 15)(14 16) 不動點個數爲4個

逆時針旋轉270度

p4 = (1)(2)(3 4 5 6)(7 8 9 10)(11 12)(13 14 15 16) 不動點的個數爲2個

不同等價類個數爲（16 + 2 + 4 + 2）/ 4  = 6

Polya定理：

設G={p1, p2, ..., pg}是一個置換羣，C(pk)是置換pk的循環個數，用m種顏色着色，着色方案數爲

G爲置換的總個數，m爲顏色數，c(pi)置換pi的循環個數

同樣的着色問題

逆時針旋轉0度

p1 = (1)(2)(3)(4)   4個循環

逆時針旋轉90度

p2 = (1 4 3 2)    1個循環

逆時針旋轉180度

p3 = (1 3)(2 4)  2個循環

逆時針旋轉270度

p4 = (1  2 3 4)  1個循環

由Polya：1/4（2^4 + 2^1 + 2^2 + 2^1) = 6