LFSR——二进制下线性反馈移位寄存器与Berlekamp-Massey算法
转载自:元暑期学校课件(侵删)
线性反馈移位寄存器(LFSR)
给定一个线性反馈移位寄存器(LFSR)的n个初始值a0,a1,...,an−1,不断地加移位脉冲,n级LFSR就会输出一序列
a0,a1,a2,...
ai∈F2={0,1}.
其中ai+n满足等式
ai+n=j=1∑ncjai+n−j,cj∈F2.
我们把这样的序列称为 (n级)线性反馈移位寄存器(LFSR)。
特征 多项式与联接多项式
n级LFSR的**特征多项式(Characteristic Polynomial)**为
f(x)=xn+i=1∑ncixn−i,
其**联接多项式(Reciprocal Polynomial/Joint Polynomial)**为
f(x)=xnf(x1)=1+i=1∑ncixi.
将满足递推关系式(2)的n级LFSR序列称为由f(x)产生的序列。
G(f):由f(x)产生的所有序列的全体组成的集合。
极小多项式
设a是F2上的一个周期序列,存在F2上唯一的首一多项式f(x)使得a∈G(h(x))当且仅当f(x)∣h(x)。这个多项式f(x)称作a的极小多项式。
Berlekamp-Massey算法
Berlekamp-Massey算法(简称BM算法):在已知二元序列的情况下求解其极小多项式和阶数。
(1) 设n0是一个非负整数,满足
a0=a1=⋯=an0−1=0,an0̸=0.
取
d0=d1=⋯=dn0−1=0,dn0=an0,
令
f1(x)=f2(x)=⋯=fn0(x)=1,
l1=l2=⋯=ln0=0.
令
fn0+1(x)=1−dn0xn0+1,ln0+1=n0+1.
(2) 假设(fi(x),li),1≤i≤n≤N 已经求得。而
l1=l2=⋯=ln0<ln0+1≤ln0+2≤⋯≤ln
根据fn(x)=1+cn,1x+⋯+cn,lnxln,并计算
dn=an+cn,1an−1+⋯+cn,lnan−ln.
如果dn=0,则取
fn+1(x)=fn(x),ln+1=ln;
若dn̸=0,这时一定存在1≤m<n,使
lm<lm+1=lm+2=⋯=ln,
取
fn+1(x)=fn(x)−dndm−1xn−mfm(x),
ln+1=max{ln,n+1−ln}.
例 求周期为8的序列a(8)=00101101的极小多项式和阶数。
解 a0=0,a1=0,a2=1,a3=0,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1. 首先n0=2,因此
d0=d1=0,d2=1,
f1(x)=f2(x)=1,f3(x)=1−x3,
l1=l2=1,l3=3.
计算d4=a4−a1=1−0=1̸=0,这时l2<l3=l4,因此m=2,
f5(x)=f4(x)−d4d2−1x4−2f2(x)=1−x3−x2=1+x2+x3,
l5=max{l4,4+1−l4}=3.
计算d5=a5+a3+a2=1+0+1=0,因此
f6(x)=f4(x)=1+x2+x3,l6=l5=3.
计算d6=a6+a4+a3=0+1+0=1̸=0, 这时l2<l3=l4=l5,因此m=2,
f7(x)=f6(x)−d6d2−1x6−2f2(x)=1+x2+x3−x4=1+x2+x3+x4,
l7=max{l6,7−l6}=4.
计算d7=a7+a5+a4+a3=1+1+1+0=1̸=0,这时l6<l7,因此m=6,
f8(x)=f7(x)−d7d6−1x7−6f6(x)=1+x2+x3+x4−x(1+x2+x3)=1+x+x2,
l8=max{l7,8−l7}=4.
所以a(8)=00101101的极小生成多项式为1+x+x2,阶数为4。