EUCM詳解

EUCM 模型即爲extended unified camera model， 主要會涉及到幾個座標系，如下：
a. 世界座標系： 真實世界座標中的位置座標，單位爲m，　一般對應在表達爲Ｘ；

b. 橢球面座標系：是一箇中轉球面，與對應點的世界座標相差一個scale的係數；也成爲Ｐ平面， 對應表達爲Xp

c. 圖像座標系：是橢球面上的點在z=1平面上的投影，也稱爲M平面，其x，y值與Xp一樣，只是z值固定爲1， 對應表達爲m

d. 像素座標系： 圖片中點像素點座標，左上角爲(0,0)， 由 m plane中的點經過內參矩陣K計算而來；對應表達爲p(u,v)

模型圖像爲：

1. EUCM模型的projection公式( 從世界座標 ---> 圖像座標系)

其中( x, y, z) 爲點X 在世界座標系下的座標；alpha， beta算作是畸變係數；得到的m 座標即爲 點X 對應的在圖像座標系下的座標；

2. 圖像座標系到像素座標系

3. 世界座標系---> 橢球面座標系( ---> M平面圖像座標系)

該公式表明 從世界座標X 到橢球面座標Xp 其實就是經過函數的縮放而已， 然後再由橢球面P上垂直投影到M平面上

4. 反投影 -->  這裏需要注意的是， 反投影只能從像素座標系到橢球面座標系，而不能轉換到真實的世界座標系；

其中 x,y M 平面的座標， 同時，也是Xp的x, y座標， 所以重點是這裏z(x,y)的求解；

式37 是z的求解公式， 這裏需要注意的是若想要z值有效， 則r2 必須滿足式39， 這個其實就是魚眼相機的有效成像半徑；其中gamma = 1-alpha；

5. Z(x,y)的求解方法

在第三部分中z的求解方法其實是基於P平面上的點Xp 經過縮放函數後等於1， 即：

假設Xp(x, y,z) 則 帶入到第三部分的公式後有：

對該公式求解即可得到式37 ；

6.  單應矩陣求解 , 求解單應矩陣進行3D reconstruction

假設有相機a 和 b，世界座標中某點在相機a 和 b 下分別有 座標和

 以及有 projection functions和 ， 兩個相機之間有R t 關係如下：

則推導可得：

其中，

H爲3x3矩陣， 可以由 4對處在P平面的匹配點計算得出

7. 雅克比矩陣：

首先說雅克比矩陣， 在slam14講中有關於雅克比矩陣在BA優化時的公式， p164， 式7.41

e 關於擾動量的導數， 等於e關於P‘ 的導數 × P’ 關於擾動的導數；

因爲第二項是固定的，P‘ 爲世界座標[X', Y',Z'], 所以只需要注意e關於P’ 求導即可；

其中e爲從世界座標系到圖像座標系的轉換公式， 對於針孔相機模型而言， 爲

u = fx*X'/Z' +cx, v=fy*Y'/Z' +cy ;

對EUCM模型爲

u=mx*fx + cx  , v=my*fx + cy ;

其中，

先求出m關P(x, y, z) 的導數， 再相乘， 最後結果爲