从零开始高三物理之单摆公式证明

单摆公式

$T=2π \sqrt{l/g}$

证明

首先单摆在摆线和平衡位置时的摆线的夹角小于10度的时候可以视作简谐运动
简谐运动的判定标准是 是否存在回复力满足 $F=-kx$ 其中$k$是恢复系数，是不变的
所以当夹角小于10度的时候，$F=mgsin\theta$,$\theta$小于10度$sin\theta$可以忽略不计，所以此时可以视作简谐运动

设摆长$l$,此时摆锤到平衡位置距离为$x$
由此可得 ，$F=mgsin\theta=mgx/l=-kx$，得$k=-mg/l$
因为，简谐运动中$x=Asin(\omega t+\phi)$，那么$v$就是$x$ 的斜率，求导可得，$v=-\omega Acos(\omega t+\phi)$，
同理求导可得加速度$a=-{\omega}^2Asin(\omega t+\phi)$，
因为此时回复力即提供加速度的合力，
所以$F=ma=-kx$,将上述公式代入，即$-m{\omega}^2Asin(\omega t+\phi)=-mg/lAsin(\omega t+\phi)$
得 $\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$
因为$\omega=2πf$且$f=\frac{1}{T}$
可证：$T=2π \sqrt{l/g}$

反思

开学考选择题有道题出了整个模型，那时候没看出来，老师讲的时候我连单摆公式等全忘了
所以作此整理。

以后有空会把费老师的数学秒杀法陆陆续续传上来
本来想着把错排公式证明一下，但是费老师说不必要，就算了。