軟考中級（軟件設計世）知識點--數據結構基礎之樹和二叉樹

1.樹：樹是n(n>=0)個結點的有限集合。n=0的時候，爲空樹。

2.在任一個非空樹中：

1).有且僅有有一個稱爲根的結點。
2).其餘的結點可分爲m(m>=0)個互不相交的子集T1,T2,T3……Tm,其中每個子集本身又是一顆樹，並稱其爲根結點的子樹。

3.一個結點的子樹的個數記爲該結點的度。

4.樹的度：樹中各結點的度的最大值。

5.葉子結點：也稱爲終端結點，指度爲零的結點。

6.內部結點：度不爲零的結點稱爲分支結點或非終端結點。除根結點之外，分支結點也稱爲內部節點。

7.結點的層次：根爲第一層，根的孩子爲第二層。

8.樹的高度：一棵樹的最大層數。也叫深度。

9.有序（無許）樹：若將書中的結點的各子樹堪稱是從左到右具有次序的，既不能交換，則稱爲有序樹，反之，爲無序樹。

10。森林：是m(m>=0)棵互不相交的樹的集合。

11.樹的遍歷:

• 前序遍歷 ：A B E F I J C D G H
• 後序遍歷：E I J F B C G H D A
• 層次遍歷： A B C D E F G H I J

(樹是沒有中序遍歷；二叉樹有中序遍歷)

12.二叉樹：是n(n>=0)個結點的有限集合，它或者是空數（n=0）,或者有一個根結點及兩顆互不相交的、分別稱爲左子樹和右子樹的二叉樹所組成。

13.二叉樹與樹的區別：

1. 二叉樹的結點最大爲2，而樹不限制結點的度。
2. 二叉樹的結點的子樹要區分左子樹和右子樹

14.二叉樹的性質：

1. 二叉樹第i層上的結點數目最多爲2^i-1 (i>=1).
2. 深度爲K的二叉樹至多有2^k-1個結點（k>=1）
3. 在任意一棵二叉樹中，若終端結點數爲n0,度爲2的結點樹爲n2，則n0=n2+1 具有n個結點的完全二叉樹深度爲 （圖片公式意思是去下線正數）
4. 對一棵有n個結點的完全二叉樹的結點按層次自左至右經行編號，則對任意一結點i有：
   - 若i=1，則結點i是二叉樹的根，無雙親，
   - 若i>1，則其雙親爲i/2(取下限正數)
   - 若2i>n，則結點i無左孩子，否則其左孩子爲2i.
   - 若2i+1>n，則結點i無右孩子，否則其右孩子爲2i.

二叉樹如下圖：

15.深度爲K的二叉樹有(2^k)-1個結點，則稱爲滿二叉樹

如下圖

16.深度爲K、有n個結點的二叉樹，當且僅當其每一個都與深度爲K的滿二叉樹編號從1至n的結點一一對應，稱之爲完全二叉樹。

如下圖。

17.二叉樹存儲:

• 順序存儲：完全二叉樹非常適用
• 鏈式存儲

18.二叉樹的遍歷：

• 前序遍歷 : 4 2 1 3 5 6
• 中序遍歷：1 2 3 4 5 6
• 後序遍歷：1 3 2 6 5 4

19.二叉樹排序樹：

又稱爲二叉樹找樹：或者是一棵空數，或者是具有下列性質的二叉樹：

1. 若左子樹不爲空，則左子樹上所有的結點的值均小於它的根結點的值；
2. 若右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於或等於它的根結點的值。
3. 左、右子樹也分別爲二叉排序樹。
   如下圖：
   

20.平衡二叉樹：

又被稱爲AVL樹。具有一下性質：它是一棵空數或它的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1，並且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹。
如下：

21.線索樹：

n個結點的二叉鏈表中含有n+1（2n-(n-1)=n+1）個空指針域。利用二叉鏈表中的空指針域，存放指向結點在某種遍歷次序下的前趨和後繼結點的指針（這種附加的指針稱爲‘線索’）

22.最優二叉樹

給定n個權值作爲n的葉子結點，構造一棵二叉樹，若帶權路徑長度最小，稱這樣的二擦函數爲最優二叉樹，也稱爲哈夫曼樹。哈夫曼樹是帶權路徑長度最短的樹，權值較大的結點離根較近。