第六講 分組的揹包問題

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問題

有N件物品和一個容量爲V的揹包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。這些物品被劃分爲若干組，每組中的物品互相沖突，最多選一件。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

算法

這個問題變成了每組物品有若干種策略：是選擇本組的某一件，還是一件都不選。也就是說設f[k][v]表示前k組物品花費費用v能取得的最大權值，則有：

f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i屬於組k}

使用一維數組的僞代碼如下：

注意這裏的三層循環的順序，甚至在本文的第一個beta版中我自己都寫錯了。“for v=V..0”這一層循環必須在“for 所有的i屬於組k”之外。這樣才能保證每一組內的物品最多隻有一個會被添加到揹包中。

另外，顯然可以對每組內的物品應用P02中“一個簡單有效的優化”。

小結

分組的揹包問題將彼此互斥的若干物品稱爲一個組，這建立了一個很好的模型。不少揹包問題的變形都可以轉化爲分組的揹包問題（例如P07），由分組的揹包問題進一步可定義“泛化物品”的概念，十分有利於解題。

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