Stata: 面板 Granger 因果檢驗

 

作者：李珍 (廈門大學)

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Source： Luciano Lopez, Sylvain Weber, 2017, Testing for Granger Causality in Panel Data, Stata Journal, 17(4): 972–984. [pdf]

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隨着面板數據庫規模的擴大，圍繞面板數據因果關係的理論也迅速發展。面板數據正從具有大樣本量（ N ）和較短時間維度（ T ）的微觀面板數據轉變爲到具有大樣本量（ N ）和長的時間維度（T）的宏觀面板數據。在這種情況下，就需要注意時間序列計量經濟學的經典問題，即（非）平穩性和（非）因果關係。

在本文中，我們介紹了社區貢獻的外部命令 xtgcause ，它實現了 Dumitrescu 和 Hurlin (2012) 提出的面板數據中 Granger 因果關係的檢驗過程。

xtgcause 通過最小化 Akaike 信息準則 (AIC)、貝葉斯信息準則 (BIC) 和 Hannan-Quinn 信息準則 (HQIC) 來選擇模型中的滯後階數，同時，它提供了 bootstrap 方法來計算 p 值和臨界值。

 

1. Dumitrescu-Hurlin 檢驗 （DH 檢驗）

1.1 Granger 因果檢驗的基本思想

Granger (1969) 開創性地提出一種分析時間序列數據因果關係的方法。

假設 $x_{t}$ 和 $y_{t}$ 是兩個平穩的序列，我們可以用如下模型來檢驗 $x$ 是不是導致 $y$ 變動的原因：

$y_{t}=\alpha+\sum_{k=1}^{K} \gamma_{k} y_{t-k}+\sum_{k=1}^{K} \beta_{k} x_{t-k}+\varepsilon_{t}，t=1,……，T \quad (1)$

其基本思想在於，在控制 $y$ 的滯後項 (過去值) 的情況下，如果 $x$ 的滯後項仍然有助於解釋 $y$ 的當期值的變動，則認爲 $x$ 對 $y$ 產生因果影響。

檢驗的原假設爲：

$H_{0} : \beta_{1} = \cdots =\beta_{K}=0$

這可以通過構造 F 統計量進行檢驗。如果 F 檢驗拒絕 $H_{0}$ ，則認爲存在因果關係，即 $x$ 是 $y$ 的 Granger 因。顯然，我們可以互換 $x$ 和 $y$ 的位置，以便檢驗 $y$ 是否爲 $x$ 的 Granger 因。在很多情況下都會出現模型中所有變量之間都存在雙向因果關係。

1.2 Dumitrescu-Hurlin 的拓展

Dumitrescu-Hurlin (2012) 在此基礎上進行了拓展，提供了一個檢驗面板數據因果關係的方法。潛在的迴歸模型是：

$y_{i, t}=\alpha_{i}+\sum_{k=1}^{K} \gamma_{i k} y_{i, t-k}+\sum_{k=1}^{K} \beta_{i k} x_{i, t-k}+\varepsilon_{i, t} \quad (2)$

其中，$i=1,……,N$；$t=1,……，T$。 $x_{i, t}$ 和 $y_{i, t}$ 是兩個平穩序列在個體 $i$ 和時間 $t$ 上的觀測值。

DH 的面板因果檢驗允許每個截面單元的迴歸係數是可變的（即在同一時間上，係數在個體之間不同）。假設滯後階數 $k$ 對於所有個體是相同的，並且面板必須是平穩的。

類似於 Granger 因果檢驗，DH 檢驗也是通過 $x$ 的過去值對 $y$ 的現值的影響來判斷因果關係。

檢驗統計量

原假設認爲面板中的所有個體都不存在因果關係，即：

$H_{0} : \beta_{i 1}=\cdots=\beta_{i K}=0 \quad \forall i=1, \ldots, N_{1} \quad (3)$

備擇假設爲部分（不是所有的）個體存在因果關係：

$\begin{array}{cc}{H_{1} : \beta_{i 1}=\cdots=\beta_{i K}=0} & {\forall i=1, \ldots, N_{1}} \\ {\beta_{i 1} \neq 0 \text { or } \ldots \text { or } \beta_{i K} \neq 0} & {\forall i=N_{1}+1, \ldots, N}\end{array}$

其中，$N_{1} \in[0, N-1]$ 是未知的。 如果 $N_{1} = 0$ ，則面板中的所有個體都存在因果關係。 $N_{1}$ 必須嚴格小於 $N$ 。

實現方法

在實際操作方面，DH 提出運行包含在 (1) 式中的 N 個獨立迴歸，執行 $k$ 個線性假設的 F 檢驗來獲得 Wald 統計量 $W_{i}$ ，最後計算 Wald 統計量的平均值

$\overline{W}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} W_{i}$

DH 檢驗的目的在探索麪板數據的因果關係，拒絕 $H_{0}$ 並不排除一些個體的非因果關係。使用蒙特卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）, DH 發現 $W$ 的漸進表現良好，可以用來檢測面板因果關係。

在 Wald 統計量 $W_{i}$ 是獨立同分布的假設下，當 $T \rightarrow \infty$ 和 $N \rightarrow \infty$ ，標準化的統計 $\widetilde{Z} $ 服從下面的正態分佈：

$\overline{Z}=\sqrt{\frac{N}{2 K}} \times(\overline{W}-K) \quad \frac{d}{T, N \rightarrow \infty}\!\!{\rightarrow} \quad \mathcal{N}(0,1) \quad (4)$

而且，對一個 $T>5+3K$ 的固定的 $T$ 維度來說，最大標準統計量 $Z$ 服從以下正態分佈：

$\widetilde{Z}=\sqrt{\frac{N}{2 K} \times \frac{T-3 K-5}{T-2 K-3}} \times\left(\frac{T-3 K-3}{T-3 K-1} \times \overline{W}-K\right)\frac{d}{T, N \rightarrow \infty}\!\!{\rightarrow} \quad \mathcal{N}(0,1) \quad (5)$

原假設 (3) 的檢驗也是基於 $\overline{Z}$ 和 $\widetilde{Z}$ 。如果這些值大於標準化值，則拒絕原假設 $H_{0}$，認爲 Granger 因果存在。對 $N$ 和 $T$ 足夠大的面板數據來說，使用 $Z$ 統計量是合理的。對 $N$ 足夠大但 $T$ 相對較小的面板數據而言，也可以使用 $Z$ 統計量。對於 $N$ 和 $T$ 都很小的樣本數據而言， DH 用蒙特卡洛推斷說明了檢驗具有良好的樣本性。

滯後階數的選取

滯後階數 $k$ 的選擇是一個經驗問題，但是 Dumitrescu 和 Hurlin ( 2012 ) 並沒有說明。解決這個問題的一個方法就是根據信息準則（ AIC / BIC / HQIC ）選擇滯後階數。在這個過程中，所有估計都要被嵌套在公共樣本中執行、進而可以進行比較。事實上，這意味着 $K_{\max }^{3}$ 時間序列在整個滯後選擇過程中被忽略掉了。另一個需要考慮的現實問題是面板數據中的橫截面依賴性。爲此，在 Dumitrescu 和 Hurlin ( 2012 ) 在 6.2 節中提出了一個計算 bootstrapped 臨界值而不是漸進臨界值：具體步驟爲：

1. 擬合模型 (2)，根據（4）和（5）中的定義獲得 $\overline{Z}$ 和 $\widetilde{Z}$ ；
2. 在 $H_{0} : y_{i, t}=\alpha_{i}^{0}+\sum_{k=1}^{K} \gamma_{i k}^{0} y_{i, t-k}+\varepsilon_{i, t}$ 假設下擬合模型，得到殘差矩陣 $\widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}(T-K) \times N$ ；
3. 重新抽取矩陣 $\widehat{\varepsilon}$ ，形成 $\widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}(T-K) \times N$ ；
4. 隨機抽取 $\left(\mathbf{y}_{\mathbf{1}}^{\star}, \ldots, \mathbf{y}_{\mathbf{K}}^{\star}\right)^{\prime}$ , 令 $\mathbf{y}_{\mathrm{t}}^{\star}=\left(y_{1, t}^{\star}, y_{2, t}^{\star}, \cdots, y_{N, t}^{\star}\right)$ ，其中 $k$ 爲可重複的連續時間序列 ；
5. 根據 $k$ 期隨機抽取，構建 $y_{i, t}^{\star}=\widehat{\alpha}_{i}^{0}+\sum_{k=1}^{K} \widehat{\beta}_{i k}^{0} y_{i, t-k}^{\star}+\varepsilon_{i, t}^{\star}$ 重抽樣序列；
6. 擬合模型 $y_{i, t}^{\star}=\alpha_{i}^{b}+\sum_{k=1}^{K} \gamma_{i k}^{b} y_{i, t-k}^{\star}+\sum_{k=1}^{K} \beta_{i k}^{b} x_{i, t-k}+\varepsilon_{i, t}$ ，計算 $\overline{Z}^{b}$ 和 $\widetilde{Z}^{b}$ ；
7. 重複步驟 3-6 ；
8. 根據 $\overline{Z}^{b}$ 和 $\widetilde{Z}^{b}$ 的分佈，計算 P 值、和 $\overline{Z}$ 和 $\widetilde{Z}$ 的標準值。

DH 的面板因果是允許每個截面單元的迴歸係數可變的，因此 $Z$ 統計量也是多個 $Z$ 的平均值，叫做 $z-bar$ 統計量。檢驗結果主要看最後一列相伴概率，可知所有變量都是雙向因果的。

 

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2. xtgcasue 命令

2.1 語法結構

xtgcause depvar indepvar [if]  [in]  ///
    [, lags (# | aic [#] | [#] | hqic [#])  ///
       regress bootstrap breps (#)         ///
       blevel(#) blength (#) seed(#) nodot ]

2.2 選項

• lags(#laic [#] | bic [#] | hqic [#]) 指出之後結構以執行迴歸計算統計量。默認滯後一階，即 lags(1) 。
• lags(#) 指定序列滯後階數 # 需要在迴歸中應用。最大滯後階數爲 T>5+3*# 。
• lags(#laic [#] | bic [#] | hqic [#]) 要求序列滯後階數選擇應根據迴歸設定最小的 AIC / BIC / HQIC 的平均。執行 1 階至 # 階滯後迴歸，將所有估計樣本量限制爲 T-#，使模型具有嵌套並具有可比性。顯示的統計量來源於 AIC / BIC/ HQIC 平均值最小回歸集。
• regress 可用於顯示基於的 N 個的迴歸的檢驗的結果。此選項有助於查看單個迴歸的係數。當面板中的樣本數量足夠大時，此選項的輸出非常長。
• bootstrap 按照 Dumitrescu 和 Hurlin（2012，sec.6.2） 的方法計算 P 值和臨界值。 使用 bootstrap 能夠克服數據中橫截面存在依賴性。
  • breps (#) 表示 bootstrap 重複的次數，默認爲 breps(1000)。
  • blevel (#) 表示 bootstrap 計算的臨界值的顯著性水平，默認爲 blevel(95) 。
  • blength(#) 表示 bootstrap 的模塊長度大小。默認每一時間段抽樣獨立且替代 blength(1) 。blength() 允許將樣本劃分爲 # 時間段的重複塊，並從中非替代獨立抽樣來完成 bootstrap 。如果懷疑存在自相關，則使用超過一個時間段是有用的。
  • seed(#) 用來設定隨機數種子，默認爲不設置。
  • nodots 抑制重複點，默認爲每次重複就打印一個點，以指示 bootstrap 的演變。

breps (), blevel () , blength (), seed () 以及 nodots 都是 bootstrap 的子選項。只有在 bootstrap 設定的情況下才能使用。

2.3 結果的存儲

• xtgcause 存儲在下述的 r() 標量中
• r(wbar) 表示 Wald 統計量的平均值
• r(zbart) 表示 Z-bar tilde 統計量
• r(lags) 表示 檢驗的滯後階數
• z(bart_pv) 表示 Z-bar tilde 統計量的 P 值
• r(zbar) 表示 Z-bar統計量
• r(zbart_pv) 表示 Z-bar tilde 的 P 值
  Matrices
  r(Wi) 表示個體的 Wald 統計量，r(PVi) 表示個體的 Wald 統計量對應的 P 值
  
  使用 bootstrap 的 xtgcause 也存儲在下列 r() 標量中
• r(zbarb_cv) 表示 Z-bar 統計量的臨界值
• r(blevel) 表示 bootstrap 臨界值的顯著性水平
• r (zbartb_cv) 表示 Z-bar tilde 統計量的臨界值
• r(blength) 表示 block 長度的大小
• r(breps) 表示 bootstrap的重複次數
• r(ZBARb) 表示 bootstrap 產生的 Z-bar 統計量
• r(ZBARTb) 表示 bootstrap 產生的 Z-bar tilde 統計量

 

3. Stata 範例

xtgcause 命令假定所有的變量都是平穩的。用 xtunitroot，可以提供多種面板穩定性檢驗。我們也可以用來進行二代單位根檢驗，例如 Pesaran 提出的控制橫斷面非獨立性。

3.1 基於模擬數據的例子

爲了解釋說明 xtgcause，首先使用 Dumitrescu 和 Hurlin (2012) 提供的 [數據] 。可以直接從網站將數據導入 Stata。在原始 CSV 表格中，數據是矩陣形式，每一個樣本的所有觀測值都在同一個單元格中。在這個單元格中，變量 x 的 10 個值之間用空格分開， x 的最後一個值和 y 的第一個值用逗號隔開，然後變量 y 的 10 個值之間仍舊使用空格間隔。因此，下面幾行命令以讓 Stata 的瞭解數據結構，以進行轉換。

. insheet using "http://www.execandshare.org/execandshare/htdocs/data/MetaSite/upload/companionSite51/data/data-demo.csv", ///
   delimiter(",")  clear   //導入數據，生成 x 和 y ,每一個變量各包括 10 個值。
   **注意：對於 Stata 13.0 以上版本運行，還可以使用 import delimited  

. split x, parse(`=char(9)') destring
. split y, parse(`=char(9)') destring
. drop x y
. gen t = _n
. reshape long x y, i(t) j(id)

. xtset id t    //設定爲面板數據

. list id t x y in 2/7

     +----------------------------------+
     | id   t            x            y |
     |----------------------------------|
  2. |  2   1   -1.4703536    1.2586422 |
  3. |  3   1   -.38944513   -.90265296 |
  4. |  4   1    1.5032091    .09225216 |
  5. |  5   1   -1.2006193    .12203134 |
  6. |  6   1   -2.0245606    .93400482 |
     |----------------------------------|
  7. |  7   1    -.5433985   -.22942822 |
     +----------------------------------+

xtgcause 的基本語法

首先，我們使用 xtgcause 的默認情況進行操作（即使用滯後一階，不設定更長的滯後階數），在這種情況下，檢驗的結果爲接受原假設。結果包括 w(w-bar) , z(z-bar tilde) 。對後兩個統計量來說，還提供了就標準正態分佈的 P 值。

. xtgcause y x    //檢驗 x 是否導致了 y

Dumitrescu & Hurlin (2012) Granger non-causality test results:
--------------------------------------------------------------
Lag order: 1
W-bar =          1.2909
Z-bar =          0.6504   (p-value = 0.5155)
Z-bar tilde =    0.2590   (p-value = 0.7956)
--------------------------------------------------------------
H0: x does not Granger-cause y.
H1: x does Granger-cause y for at least one panelvar (id).

Wald 統計量

也可以使用 Stata 的返回值 r(Wi) 和 r(PVi) 展示 Wald 統計量和相關值（首先將其整合成一個簡單矩陣以節省空間）：

matrix Wi_PVi = r(Wi), r(PVi)

matrix list Wi_PVi

Wi_PVi[10,2]
             Wi        PVi
 id1  .56655945  .46256089
 id2  .11648998  .73731411
 id3  .09081952  .76701924
 id4  8.1263612  .01156476
 id5  .18687517  .67129995
 id6  .80060395  .38417583
 id7  .53075859  .47681675
 id8  .00158371  .96874825
 id9  .43635413   .5182858
id10  2.0521113  .17124367

設定滯後階數

使用 lags() 選項，可以進行 x 和 y 的二階滯後檢驗，檢驗結果和之前類似。

. xtgcause y x, lags(2)

Dumitrescu & Hurlin (2012) Granger non-causality test results:
--------------------------------------------------------------
Lag order: 2
W-bar =          1.7302
Z-bar =         -0.4266   (p-value = 0.6696)
Z-bar tilde =   -0.7052   (p-value = 0.4807)
--------------------------------------------------------------
H0: x does not Granger-cause y.
H1: x does Granger-cause y for at least one panelvar (id).

基於 Bootstrap 的標準誤

我們也可以使用 bootstrapped 計算 P 值和臨界值，在這種情況下，bootstrapped 的 P 值和第一次檢驗中的漸進 P 值相近。

. xtgcause y x, bootstrap lags(1) breps(100) seed(20190802)

----------------------------
Bootstrap replications (100)
----------------------------
..................................................    50
..................................................   100

Dumitrescu & Hurlin (2012) Granger non-causality test results:
--------------------------------------------------------------
Lag order: 1
W-bar =          1.2909
Z-bar =          0.6504   (p-value* = 0.5800, 95% critical value = 2.7526)
Z-bar tilde =    0.2590   (p-value* = 0.8400, 95% critical value = 1.9042)
--------------------------------------------------------------
H0: x does not Granger-cause y.
H1: x does Granger-cause y for at least one panelvar (id).
*p-values computed using 100 bootstrap replications.

3.2 現實數據的例子

以 Paramati, Ummalla 和 Apergis (2016) 論文中使用的清潔能源的外國直接投資和股票市場增長率數據 爲例，重現文章的結果分析。

首先，將網站的數據下載，並導入Stata ，進行設定。需要說明的是，在使用 import excel 命令時，
還可以增加 “case(preserve|lower|upper)” 選項來設置變量名的大小寫。

. import excel "Data.xlsx", clear first  ///
   cellrange(A1:J461) sheet(LN-EU) 

. xtset ID Year
       panel variable:  ID (strongly balanced)
        time variable:  Year, 1993 to 2012
                delta:  1 unit

使用 xtgcause 來檢驗因果關係，和文中表 8 的結果一致。我們使用滯後 2 階的數據和 Paramati, Ummalla 和 Apergis ( 2016 ) 中附錄的數據匹配。和他們的結果相比，Eviews 中 Zbar-Stat 和 Z-bar tilde 統計量是一致的（ Eviews 中不提供 Zbar ）

此外， xtgcause 可以自行設置滯後階數，同時保證 AIC , BI , HQIC 最小化。Dumitrescu 和 Hurlin ( 2012 ) 並沒有提供滯後階數的選擇，這就需要根據使用者經驗判斷。舉例來說，我們可以通過 output fdi 設定滯後選項 lags(bic)

事實上，xtgcause 可以進行滯後 1 階至最高階 T>5+3K 或者使用者自行設定限制值以下的迴歸。此外，如果 5 階滯後都被考慮，面板中最初的 5 個觀測值就不在估計中，即使滯後階數可以比 5 少。 這確保了嵌套模型，然後可以使用 AIC ，BIC 或 HQIC 對其進行適當比較。 在這一系列估計之後，xtgcause 選擇最佳結果（即，使得 N 個個體估計的平均 AIC / BIC / HQIC 最低）並且使用最佳滯後數並使用所有可用觀察值重新運行所有估計。 對後者的統計數據報告爲輸出。

在上面的例子中，使用 BIC 的最優滯後階數 1 ，這與 Paramati , Ummalla 和 Apergis ( 2016 ) 爲此檢驗選擇的滯後順序不同。這種差異可能會造成檢驗的結果是相反的。更確切地說，原假設不會因爲最佳選擇的單一滯後所拒絕，但 Paramati , Ummalla 和 Apergis ( 2016 ) 使用了兩個滯後，因此拒絕零假設。 考慮到經濟學中的實證研究被用於制定政策建議，這種不準確的結論可能是有害的。 因此，我們考慮使用 xtgcause 的選項，允許用戶根據 AIC / BIC / HQIC 選擇滯後數。 它將允許研究人員依賴這些廣泛接受的標準清楚地選擇。

最後，xtgcause 通過 bootstrap 過程使得計算與 z-bar 和 z-bar tilde 相關的 P 值和臨界值。計算 bootstrapped 臨界值（而不是相似估計）可以非常有用當面板非獨立。基於 Paramati, Ummalla 和 Apergis ( 2016 ) 數據，我們檢驗了因果關係從 output 到 fdi ，通過添加 bootstrap 選項（我們也爲了replicability 使用 seed，節省空間使用nodots）。

這裏 xtgcause 首先使用前一系列估計中的最優滯後數來計算 Z-bar 和 Z-bar tilde 統計量; 然後，它計算了 bootstrapped 的 P 值和臨界值。 默認情況下，每次形成 1000 次 bootstrap 重複。 我們觀察到，與之前獲得的漸近 P 值（從 0.34 到 0.45 ）相比， Z-bar 的 bootstrapped的 P 值顯着增加，而 Z-bar tilde的 P 值保持更接近。 這應該被解釋爲估計遭受小樣本偏差的信號，因此低估了漸近 P 值。 Bootstrapped P 值表明零假設遠未被拒絕，這加強了對 Paramati ， Ummalla 和 Apergis （ 2016 ） 基於漸近 P 值並以兩個滯後獲得的結論的擔憂。

 

4. 結論

在本文中，我們介紹了社區貢獻的外部命令 xtgcause，該命令實現了 Dumitrescu 和 Hurlin（2012） 提出的面板數據 Granger 因果關係的檢驗。 xtgcause 命令的一個重要貢獻是允許用戶根據 AIC ，BIC 或 HQIC 選擇滯後階數。xtgcause 還可以計算 bootstrapped 臨界值，以克服橫截面的非獨立。

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