空間譜估計的相關數學模型

原創

2019-09-20 01:16

1、假設有N個遠場的窄帶信號源輸入，入射到M個陣元的陣列上；假設在 t 時刻，第 i 個信號源的的回波信號對第一個陣元可以表示爲如下：

$si( t ) = ui(t) * e ^{^{j(wt + \varphi (t)))}}$

其中 ui(t)表示第i個信號的幅度信息； w表示當前 t 時刻下目標的頻率（可以理解爲由距離和速度引入的中頻頻率）； $\varphi$ (t)表示爲第 i 個信源的相位信息，表徵了目標的初相信息。此處並未考慮到接收天線，僅僅考慮的是信號的回波；

2、下面考慮在不同天線之間的接收到的回波對ui和 $\varphi$ (t)的影響，假設Si爲第一個陣元接受到的信號表示爲：這個可以認爲是載波模型。

$Si( t ) = ui(t) * e ^{^{j(wt + \varphi (t)))}}$

以第一個陣元爲參考陣元，那麼第 2 個陣元較之第一個陣元接收到的信號之間存在一個時間差，假設次時間差爲 $\tau$ ，此時間差實際上是波程差的反應；第n個天線與參考天線之間存在一個時間差，稱之爲 $\tau$ n

則Si(t) = Si(t - $\tau$ n) = Si(t) * exp(-j* $\tau$ n*w);

上式可以理解爲在第i個目標照射到第一個陣元上，由於是遠場信號，所以可以近似認爲只有不同陣元間映入的時間差；

3、任意一個接受陣元的回波數據表示（所有信號源的回波照射到任意一個接受陣元上的回波表達式）： $Xl(t) = \sum_{i = 1}^{N}G(l,i) * Si(t - \tau (l,i)) + n(t) = \sum_{i = 1}^{N}G(l , i) * Si(t) * e^{-j* \tau (l,i)) *w} + n(t)$

其中G(l , i)表示第 l 個陣元對第 i 個目標的增益； T(l , i)表示第l個陣元中，第i個目標的時間延時； n表示噪聲

4、將M個接受陣列信號表示成如下格式：

$\begin{bmatrix} x1(t) \\ x2(t) \\ . \\ . \\ xM(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} G(1 1)*e^{^{j*w*T11}} G(1 2)*e^{^{j*w*T12}} . . G(1 N)*e^{^{j*w*T1N}}\\ G(2 1)*e^{^{j*w*T21}} G(2 2)*e^{^{j*w*T22}} . . G(2 N)*e^{^{j*w*T2N}}\\ . . . . . \\ . . . . . \\ G(M 1)*e^{^{j*w*TM1}} G(M 2)*e^{^{j*w*TM2}} . . G(M N)*e^{^{j*w*TMN}} \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} S1(t)\\ S2(t)\\ .\\ .\\ SN(t) \end{bmatrix} + n$