相機中的透視投影幾何——討論相機中的正交投影，弱透視投影以及透視的一些性質

相機中的透視投影幾何——討論相機中的正交投影，弱透視投影以及透視的一些性質

2019/10/22 FesianXu

前言

相機中的成像其本質是從3D實體世界中的物體投影到2D成像平面上，在這個過程中存在着許多投影相關的內容，本文討論了一些透視投影的內容，作爲筆者在學習過程中的筆記。如有謬誤，請聯繫指正。轉載請註明出處。

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相機的針孔模型

我們曾經在[1]中討論過關於相機的針孔模型的話題，這裏我們要再次提起下這個模型。針孔模型(pinhole model) 是最簡單的可以成像的“設備”，然而其可以精確地得到 透視投影(Perspective Projection) 的幾何信息，這裏所說的透視投影，定義爲：

將三維物體的信息映射到二維平面上，稱之爲透視投影。( Such a mapping from three dimensions onto two dimensions is called perspective projection. )

Fig 1.1 相機的針孔模型及其透視投影成像。

在針孔模型中，光線通過一個無限小的孔，並且在成像平面上呈現出倒像。呈現出倒像不方便我們的分析，因此我們在分析時通常假設成像平面在焦點之前，距離同樣也是焦距（未歸一化之前，歸一化之後距離就是1了，稱之爲歸一化座標系）。

透視投影的方程

我們需要用代數方式描述透視投影中的比例關係，如圖Fig 2.1所示，根據相似三角形的知識，我們有：
$從OA^{\prime}B^{\prime}和OAB的關係，有： \\\begin{aligned}\dfrac{OB^{\prime}}{OB} &= \dfrac{A^{\prime}B^{\prime}}{AB} \\ & \Rightarrow \\\dfrac{f}{z} &= \dfrac{r^{\prime}}{r}\end{aligned}\tag{2.1}$

$從ABC到A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}的關係，有： \\\begin{aligned}\dfrac{BC}{B^{\prime}C^{\prime}} &= \dfrac{AC}{A^{\prime}C^{\prime}} = \dfrac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}} \\& \Rightarrow \\\dfrac{x}{x^{\prime}} &= \dfrac{y}{y^{\prime}} = \dfrac{r}{r^{\prime}}\end{aligned}\tag{2.2}$

其中的$OB^{\prime} = f$是焦距。

聯合公式(2.1)和(2.2)，我們有透視投影公式:
$\begin{aligned}x^{\prime} &= \dfrac{xf}{z} \\y^{\prime} &= \dfrac{yf}{z} \\z^{\prime} &= f \end{aligned}\tag{2.3}$

Fig 2.1 透視投影示意圖。

用矩陣形式表達就是：
$\left[\begin{matrix}x_h \\y_h \\z_h \\w\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}f & 0 & 0 & 0 \\0 & f & 0 & 0 \\0 & 0 & f & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x \\y \\z \\1\end{matrix}\right]\tag{2.4}$

透視投影的若干性質

1. 多對一映射，在透視投影中，已知了投影點$A^{\prime}$之後，其實體點$A$並不是唯一的，而是存在於過焦點連線$OA^{\prime}$上的任意一點都有可能(不過要在$A^{\prime}$之後呢，所以應該是在$OA^{\prime}$的延長射線上。)
2. 放縮和投影縮放。
   • 當一個平面或者一條直線平行於成像平面時，透視投影的影響其實就是對這個平面/直線進行了縮放(scaling)。
   • 當一個平面或者直線不平行於成像平面時，透視投影的會產生非線性的投影扭曲(projective distortion)，可以將其分解成平行於成像平面的分量的縮放。

Fig 2.2 尺度縮放和投影縮放。

焦距的若干影響

如圖Fig 2.3 所示，不同焦距有着不同的影響，注意到$AB = A^{\prime}B^{\prime}$，我們發現，焦距越小，其視角越大，屬於廣角攝像頭(wide-angle camera)；焦距越大，其視角越小，但是分辨率會提高，屬於望遠鏡攝像頭(more telescopic)。

Fig 2.3 不同焦距的影響。

在透視投影中，在投影過程中，實際的平行關係通常不能保留下來，實際上，透視投影保留不了角度，距離等大部分的幾何關係，但是保留了直線的“直”的這個屬性。[2]

正交透視投影和弱透視投影

注意到透視投影一般來說是非線性的，其不保留原始元素的大部分幾何屬性，比如平行，角度等，爲了分析方便，我們假設當焦距無限大時，我們在成像平面上會存在一個所謂的正交投影，這個正交投影可以保留平行關係。其每個投影線都是平行的。這個稱之爲正交投影(orthographic projection)。

Fig 3.1 正交投影。

公式描述如:
$\begin{aligned}x^{\prime} &= x \\y^{\prime} &= y\end{aligned}\tag{3.1}$
矩陣形式:
$\left[\begin{matrix}x_h \\y_h \\z_h \\w\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x \\y \\z \\1\end{matrix}\right]\tag{3.2}$

正交投影的尺度大小是和原始物體的大小一致的，當考慮的正交頭像的尺度縮放時，就有了弱透視投影(weak perspective projection)。

Fig 3.2 弱透視投影。

公式如:
$\begin{aligned}x^{\prime} &= \dfrac{xf}{z} \approx \dfrac{xf}{\bar{z}} \\y^{\prime} &= \dfrac{yf}{z} \approx \dfrac{yf}{\bar{z}} \end{aligned}\tag{3.3}$
矩陣形式:
$\left[\begin{matrix}x_h \\y_h \\z_h \\w\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}f & 0 & 0 & 0 \\0 & f & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & \bar{z}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x \\y \\z \\1\end{matrix}\right]\tag{3.2}$

Reference

[1]. https://blog.csdn.net/LoseInVain/article/details/102632940

[2]. Hartley R, Zisserman A. Multiple View Geometry in Computer Vision[J]. Kybernetes, 2008, 30(9/10):1865 - 1872.