1、循環不變式與插入排序的正確性
示例：對A = <5,2,4,6,1,4>進行插入排序
動圖示例演示
上圖表明A = <5,2,4,6,1,4> 進行插入排序的算法是如何工作的。下標j指出正被插入到手中的“當前元素”。在for循環（循環變量爲j）的每次迭代的開始，包含元素A[1..j-1]的子數組構成了當前排序好的元素，剩餘的子數組A[j + 1...n]對應於還未排序的元素。事實上，元素A[1...j-1]就是原來位置1到j-1的元素，但是現在已經按序排列。我們把A[1...j-1]的這些性質形式地表示爲一個循環不變式。
循環不變式主要用來幫助我們理解算法的正確性。關於循環不變式，我們必須證明三條性質：
初始化：循環的第一次迭代之前，它爲真。
保持：如果循環的某次迭代之前它爲真，那麼下次迭代之前它仍爲真。
終止：在循環終止時，不變式爲我們提供一個有用的性質，該性質有助於證明算法是正確的。
2、插入排序僞代碼
InsertSort(A)
for j = 2 to A.length
key = A[j];
// Insert A[j] into the sorted sequence A[1...j-1]
i = j - 1;
while i > 0 and A[i] > key
A[i + 1] = A[i];
i = i -1;
A[i + 1] = key;
3、插入排序如何證明循環不變式成立？
初始化：首先證明在第一次循環迭代之前(當j = 2時)，循環不變式成立。所以子數組A[1..j-1]僅由單個元素A[1]組成，實際上就是A[1]中原來的元素。而且該子數組是排序好的。這表明第一次循環迭代之前循環不變式成立。
保持：證明每次迭代保持循環不變式保持不變。非形式化，for循環體的4~7行將A[j-1]、A[j-2]、A[j-3]等向右移動一個位置，知道找到A[j]的適當位置，第8行將A[j]的值插入該位置。這是子數組A[1..j]由原來在A[1..j]中的元素組成，但已按順序排列。那麼對for循環的下一次迭代增加j將保持循環不變式。
終止：最後研究在循環終止時發生了什麼。導致for循環終止的條件是 j > A.Length = n 。因此每次循環迭代j增加1，那麼必有j = n + 1。在循環不變式的表述中將j用n+1代替，我們有：子數組A[1..n]由原來在A[1..n]中的元素組成,但已按序排列。此時，子數組A[1..n]就是真個數組，我們推斷整個數組已排序。因此算法正確。
4、具體實現
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// 插入排序
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// brief: 插入排序
// @param:[in] numbers 待排序的數組
// @param:[in] n 排序數組的長度
// @returnValue int 表示返回值的標記
int InsertionSort(int *numbers, int n)
{
if(numbers == NULL)
return -1;
int i = 0, j = 0, temp = 0;
for(i = 1; i < n; i++) // 循環遍歷每一個元素
{
temp = numbers[i]; // 將numbers[i]賦值給temp
j = i - 1;
while(j >= 0 && temp < numbers[j]) // 由小到大排序
{
numbers[j + 1] = numbers[j]; // 將大的元素向前放
j--;
}
// 如果插入的數比之前的大，將numbers[j] 與 numbers[j + 1]互換
numbers[j + 1] = temp;
}
return 0;
}